WEBVTT

00:00:00.231 --> 00:00:07.105
Добрый день. Сегодня мы с вами
познакомимся с таким

00:00:07.225 --> 00:00:10.143
понятием, как случайные величины.

00:00:11.142 --> 00:00:15.538
Случайные величины — это то понятие,
которое наиболее широко используется в

00:00:15.578 --> 00:00:16.737
различных исследованиях.

00:00:17.577 --> 00:00:24.491
В области экономики, политологии,
социологии и так далее

00:00:25.849 --> 00:00:32.124
Итак, случайные величины

00:00:36.280 --> 00:00:38.239
Прежде всего необходимо определить

00:00:39.210 --> 00:00:41.812
Что же такое случайная величина?

00:00:42.733 --> 00:00:48.937
Но первом этапе нужно определить понятие

00:00:49.097 --> 00:00:51.579
величина. Что же такое величина?

00:00:54.181 --> 00:00:55.261
Величина — это

00:00:56.969 --> 00:01:03.810
Некая характеристика числовая

00:01:06.090 --> 00:01:07.370
величина.

00:01:09.211 --> 00:01:11.731
Некая характеристика.

00:01:12.910 --> 00:01:17.667
Числовая объекта или процесса

00:01:20.506 --> 00:01:27.383
объекта или процесса, которую можно
сравнить

00:01:30.341 --> 00:01:31.780
с эталоном.

00:01:34.284 --> 00:01:37.685
...которую можно сравнить с эталоном.

00:01:45.207 --> 00:01:50.488
То есть, когда мы сравниваем с эталоном,
мы приписываем какое-то числовое значение.

00:01:52.825 --> 00:01:57.229
Неважно. Это у нас может быть скорость,
да?

00:01:57.429 --> 00:01:59.351
Вот если мы скорость измеряем в чём?

00:02:01.153 --> 00:02:03.555
Там в метрах в секунду, в километрах в
час, да?

00:02:04.516 --> 00:02:07.919
А, например, что касается

00:02:09.437 --> 00:02:11.038
Мореплавание, там измеряют что?

00:02:11.078 --> 00:02:12.358
В узлах.

00:02:13.159 --> 00:02:15.000
Другая система измерений, да?

00:02:16.361 --> 00:02:22.204
Итак, величина — это то, что можно
измерить, то есть сравнить с эталом.

00:02:24.446 --> 00:02:26.127
А теперь случайная величина.

00:02:26.247 --> 00:02:27.928
Что же такое случайная величина?

00:02:34.427 --> 00:02:41.387
Ну, когда-то мы с вами говорили родовое
понятие, то понятие, на которое опирается,

00:02:41.587 --> 00:02:43.708
ближайшая, да, величина.

00:02:43.788 --> 00:02:49.988
То есть то, что можно измерить, сравнить
эталом,

00:02:50.828 --> 00:02:51.188
которое

00:02:55.174 --> 00:02:59.616
которая может принимать

00:03:09.822 --> 00:03:10.622
значения

00:03:17.858 --> 00:03:22.176
С некоторой вероятностью.

00:03:23.695 --> 00:03:26.293
С некоторой вероятностью.

00:03:29.531 --> 00:03:34.647
То есть каждому значению соответствует
определённая вероятность.

00:03:39.621 --> 00:03:46.021
И если мы с вами говорим о случайных
величинах, то тут же

00:03:46.301 --> 00:03:51.580
необходимо их классифицировать

00:03:55.340 --> 00:03:58.220
первый, наиболее такой простой, интуитивно
понятный тип

00:04:00.090 --> 00:04:03.289
Это дискретные случайные величения.

00:04:10.166 --> 00:04:14.405
Я буду сокращать. Дискретные случайные
вечения.

00:04:19.043 --> 00:04:20.682
И некоторые антипот.

00:04:21.682 --> 00:04:27.525
Непрерывные случайные величины.

00:04:31.168 --> 00:04:32.528
Чем они отличаются?

00:04:33.249 --> 00:04:37.812
Когда речь идёт о дискретных случайных
величинах, то наша величина может

00:04:38.172 --> 00:04:41.734
принимать какие-то конкретные значения.

00:04:42.554 --> 00:04:44.195
Дискретные значения.

00:04:44.676 --> 00:04:50.359
Конкретные значения лежащие в каком-то
интервале.

00:04:51.360 --> 00:04:58.044
Я могу вот такую простую иллюстрацию
привести в

00:04:58.124 --> 00:04:58.365
качестве

00:05:00.897 --> 00:05:02.777
Пояснение. Смотрите.

00:05:03.497 --> 00:05:06.617
У нас есть вот такая какая-то поверхность
с выилками, да?

00:05:07.017 --> 00:05:14.017
Для шариков. Мы бросаем шарик, и он
каким-то образом попадает в одну

00:05:14.097 --> 00:05:15.697
из этих ячеек. Да?

00:05:16.968 --> 00:05:19.329
Один, два, три, четыре, пять.

00:05:21.209 --> 00:05:25.849
То есть принимает какие-то наша случайные
величина, как номер ячейки, принимает

00:05:26.169 --> 00:05:29.009
какие-то конкретные значения. Раз, два,
три, четыре, либо пять.

00:05:29.209 --> 00:05:30.849
Всё. Смотрите.

00:05:31.569 --> 00:05:34.690
Вот здесь на границе, там полтора,
например.

00:05:35.073 --> 00:05:38.271
Такого значения шарик не может принять
такую позицию.

00:05:38.471 --> 00:05:41.949
Понятно? То есть чётко: один, два, три,
четыре, пять.

00:05:42.428 --> 00:05:47.025
Если речь идёт о непрерывных случайных
величинах, то, допустим, вот у меня здесь

00:05:48.064 --> 00:05:50.822
0,1, ну, допустим, метр.

00:05:51.459 --> 00:05:56.340
Точно так же бросаем шарик там, он у меня
какое-то время колеблется и наконец

00:05:56.460 --> 00:05:58.060
принимает какое-то положение.

00:06:00.981 --> 00:06:06.702
Допустим, в качестве случайной величины я
возьму расстояние.

00:06:14.348 --> 00:06:19.909
И вот здесь вот наше расстояние, оно
является

00:06:21.709 --> 00:06:24.430
величиной любой.

00:06:24.510 --> 00:06:26.150
Всё будет зависеть от чего?

00:06:27.150 --> 00:06:28.951
От точности нашего измерения.

00:06:29.351 --> 00:06:33.991
Я могу точно мерить там до миллиметров, до
микромов там, да, до сотой доли микрома и

00:06:34.072 --> 00:06:34.512
так далее.

00:06:34.767 --> 00:06:40.362
Понятно это? То есть непрерывная случайная
величина может принимать любые значения из

00:06:40.522 --> 00:06:47.036
какого-то интервала, например, от нуля до

00:06:47.156 --> 00:06:49.834
единицы. Понятно.

00:06:52.890 --> 00:06:59.015
Итак, на первом этапе давайте-ка мы с вами
разберёмся с дискретными случайными

00:06:59.095 --> 00:07:04.979
величинами. Для облегчения себе жизни

00:07:06.140 --> 00:07:09.703
будем использовать вот такую

00:07:10.670 --> 00:07:11.949
Аббревиатуру.

00:07:13.028 --> 00:07:15.106
Дискретные случайные величины.

00:07:28.293 --> 00:07:30.891
Как же задаются дискретные случайные
величины?

00:07:36.388 --> 00:07:41.065
Ну, например, можно дискретную случайную
величину задать с помощью

00:07:41.145 --> 00:07:50.819
таблицы.

00:07:51.059 --> 00:07:52.618
Мы говорили, что случайная величина

00:07:53.229 --> 00:07:56.193
Это величина, которая принимает какие-то
значения, да?

00:07:57.835 --> 00:08:00.679
Раз она дискретная, то конкретное
значение.

00:08:06.686 --> 00:08:08.488
С соответствующей вероятностью.

00:08:21.208 --> 00:08:22.689
Получается вот такая табличка.

00:08:24.090 --> 00:08:28.934
Вот такая табличка называется Закон
распределения

00:08:34.058 --> 00:08:35.579
дискретной случайной величины.

00:08:44.215 --> 00:08:47.454
Мы можем легко расписать закон
распределения дискретной случайной

00:08:47.534 --> 00:08:52.413
величины. Ну, например, самая простая
ситуация.

00:08:54.972 --> 00:08:58.091
Опыт с бросанием

00:09:02.410 --> 00:09:02.970
игральной

00:09:03.926 --> 00:09:10.443
Кости. Что мы возьмём за случайную
величину?

00:09:11.882 --> 00:09:18.359
Ну, вполне логично предположить, что X —
это наша случайная

00:09:18.479 --> 00:09:18.998
величина.

00:09:19.477 --> 00:09:22.277
Число очков, которое выпадает на верхней
грани кубика.

00:09:28.078 --> 00:09:30.278
И в нашем обычном кубике

00:09:35.318 --> 00:09:36.238
шесть граней.

00:09:36.926 --> 00:09:40.804
Значит, какие можно значения понимать наша
дискретная случайная величина?

00:09:42.124 --> 00:09:46.322
Один, два, три, четыре, пять, шесть.

00:09:46.522 --> 00:09:47.201
Всё.

00:09:56.637 --> 00:09:57.957
А с какой вероятностью?

00:10:00.777 --> 00:10:07.700
Если речь идёт о классическом подходе, то
вероятность есть

00:10:07.940 --> 00:10:14.302
отношение числа благоприятных событий или
исходов к числу всех

00:10:14.422 --> 00:10:18.984
возможных. Скажите, сколько всех возможных
исходов?

00:10:19.064 --> 00:10:19.985
Сколько граней находится?

00:10:20.680 --> 00:10:22.201
Мы уже говорили. Шесть.

00:10:22.681 --> 00:10:29.245
Шесть. Значит, число всех

00:10:29.365 --> 00:10:32.807
возможных исходов равно шести.

00:10:32.887 --> 00:10:34.367
Значит, знаменатель везде шесть.

00:10:34.848 --> 00:10:36.448
Скажите, а сколько граней?

00:10:38.722 --> 00:10:43.403
А с цифрой один у меня будет одна, а с
цифрой два.

00:10:44.523 --> 00:10:50.804
И тогда. Смотрите.

00:10:52.444 --> 00:10:58.605
Называется это очень сложно.

00:10:59.215 --> 00:11:02.617
Итак. Написать

00:11:06.700 --> 00:11:09.101
закон распределения

00:11:14.985 --> 00:11:16.746
дискретной случайной величины.

00:11:20.690 --> 00:11:22.172
Вот мы его написали.

00:11:28.258 --> 00:11:30.540
Как видите, это очень несложно.

00:11:31.141 --> 00:11:32.782
Какая есть закономерность?

00:11:32.862 --> 00:11:38.228
Какая есть проверка, правильно мы написали
закон распределения?

00:11:38.500 --> 00:11:40.658
Или вы неправильно написали.

00:11:42.576 --> 00:11:48.611
Как вы думаете, суммарная вероятность,
если всё правильно, должна быть какой?

00:11:50.369 --> 00:11:53.806
Если мы сложим одну-шестую, одну шестую и
так далее шесть раз

00:11:56.455 --> 00:11:57.813
Что у нас получится в итоге?

00:12:04.048 --> 00:12:10.881
То есть суммарная вероятность равна

00:12:11.001 --> 00:12:11.640
единице.

00:12:17.414 --> 00:12:22.579
Что это означает? А это означает, что
выпадет обязательно какое-то число от

00:12:22.739 --> 00:12:27.384
одного до шести включительно.

00:12:27.625 --> 00:12:31.789
То есть вот это событие, выпадение числа
от единицы до шести включительно,

00:12:31.869 --> 00:12:34.472
называется достоверным событием.

00:12:35.719 --> 00:12:37.480
Обязательно произойдёт.

00:12:46.648 --> 00:12:49.130
Законы распределения могут быть очень
разными.

00:12:57.160 --> 00:13:01.477
Один из них так называемый

00:13:14.027 --> 00:13:14.787
закон.

00:13:17.423 --> 00:13:24.299
Распределение дискретной

00:13:24.379 --> 00:13:26.018
случайных величины.

00:13:33.335 --> 00:13:34.294
Один из примеров.

00:13:37.709 --> 00:13:44.548
И вот здесь речь идёт о том, что наша
случайная

00:13:44.628 --> 00:13:47.867
величина может принимать только два
значения.

00:13:49.187 --> 00:13:50.906
Два значения.

00:13:54.066 --> 00:13:55.225
Ну, например, 0,1.

00:13:59.113 --> 00:14:03.558
Кстати, очень часто в различных
исследованиях, каких-то социологических,

00:14:03.638 --> 00:14:08.003
например, или маркетинговых, хмм, когда
хотят выяснить

00:14:12.728 --> 00:14:16.212
люди будут голосовать там за кого на
выборах, например, ну, за PR.

00:14:16.534 --> 00:14:20.051
А в маркетинге будут покупать тот или иной
товар или не будут.

00:14:20.531 --> 00:14:26.325
В социальных всяких исследованиях там
степень доволен либо недоволен чем-то, да,

00:14:26.485 --> 00:14:30.682
человек. То вот этим ответам и приписывают
значение 0 и один.

00:14:31.361 --> 00:14:34.319
Почему биноминальнее или бернули?

00:14:35.738 --> 00:14:38.097
А потому что бит в переводе это что?

00:14:38.497 --> 00:14:45.055
Два. То есть у нас есть два варианта
значение, которое может принимать

00:14:45.895 --> 00:14:47.255
случайные величины.

00:14:48.054 --> 00:14:51.013
И достаточно широко это всё используется.

00:14:51.573 --> 00:14:55.332
Почему? Ну, во-первых, достаточно легко
обрабатывать информацию.

00:14:59.953 --> 00:15:05.346
И в этом случае мы должны записать

00:15:08.343 --> 00:15:09.701
этот закон распределения.

00:15:09.821 --> 00:15:15.533
И вот здесь, как любая функция, мы задаём
этот закон не таблично.

00:15:16.653 --> 00:15:19.531
Ну, если вспомним из математики, да, из
математического анализа.

00:15:19.691 --> 00:15:21.889
То есть вся эта функция может быть задана
как?

00:15:22.529 --> 00:15:29.483
С помощью уравнений аналитических, с
помощью таблицы, табличный способ, да, и с

00:15:29.563 --> 00:15:31.801
помощью чего? Графика.

00:15:33.759 --> 00:15:35.518
Так вот примерно то же самое.

00:15:37.642 --> 00:15:39.041
Мы с вами увидим и здесь.

00:15:39.521 --> 00:15:42.040
Итак, берунальный закон распределения.

00:15:42.280 --> 00:15:44.840
Я записываю формулу бернули.

00:15:54.077 --> 00:15:55.477
Сейчас объясню её смысл.

00:15:59.590 --> 00:16:01.349
Формула Берлуни.

00:16:07.627 --> 00:16:09.706
Что такое П?

00:16:11.145 --> 00:16:14.904
Значит, у нас есть серия независимых
испытаний.

00:16:15.621 --> 00:16:21.415
В каждом из которых наше событие a может
произойти с вероятностью па.

00:16:22.973 --> 00:16:26.649
Ну, например, я бросаю монету.

00:16:26.969 --> 00:16:32.404
Монета симметричная, никуда не укатится,
да, на ребро местами много раз.

00:16:35.274 --> 00:16:37.396
У меня может выпасть либо орёл, либо
решка.

00:16:37.636 --> 00:16:39.117
Вот наши два варианта.

00:16:42.399 --> 00:16:46.122
С какой вероятностью выпадает орёл?

00:16:51.365 --> 00:16:51.766
Опыт

00:16:52.562 --> 00:16:57.479
С бросанием монеты

00:16:59.797 --> 00:17:05.393
Итак, П — это вероятность выпадения

00:17:06.312 --> 00:17:09.670
орла. Допустим, у меня событие А.

00:17:10.787 --> 00:17:12.625
Выпадение орла.

00:17:21.816 --> 00:17:26.770
Скажите, а выпадение орешка можем вот так?

00:17:27.154 --> 00:17:29.594
обозначить не а.

00:17:31.074 --> 00:17:34.634
То есть, если выпала решка, то не выпал
рёл.

00:17:34.794 --> 00:17:41.275
Понятно? В каждом опыте у нас

00:17:41.915 --> 00:17:42.275
монета

00:17:43.422 --> 00:17:47.341
Одна и та же, как мы сказали,
симметричная, тонкая, не укатится.

00:17:47.780 --> 00:17:51.579
У нас вероятность будет выпадения орла
одна и та же.

00:17:51.699 --> 00:17:55.139
Какая? Одна вторая.

00:17:56.738 --> 00:18:00.297
Потому что у нас у монеты

00:18:01.535 --> 00:18:03.095
Две стороны. Да?

00:18:03.375 --> 00:18:05.336
Два возможных варианта.

00:18:06.496 --> 00:18:08.097
Благоприятный — один.

00:18:10.417 --> 00:18:15.499
А Кю — это то, что орёл не выпадет.

00:18:16.179 --> 00:18:17.659
Противоположное событие.

00:18:18.243 --> 00:18:20.561
Оно равно единичке минус P от A.

00:18:22.280 --> 00:18:24.559
Ну, в данном случае будет одна вторая.

00:18:28.197 --> 00:18:34.673
В каком-то нашем исследовании, например,
из ста респондентов нам, допустим, 60

00:18:34.953 --> 00:18:37.431
отметили, что они довольны, там
какими-нибудь

00:18:40.145 --> 00:18:42.547
Позитивному преобразованиями города.

00:18:44.990 --> 00:18:50.876
Там дома реставрируются, фасады дороги
прокладываются, да?

00:18:52.037 --> 00:18:55.600
Значит, вероятность того, а у нас два
варианта: человек доволен или недоволен.

00:18:55.929 --> 00:18:58.771
Так модель.

00:18:59.491 --> 00:19:01.372
Би номинальный. Закон распределения.

00:19:01.492 --> 00:19:05.935
Итак, значит, вероятность события того,
что нам человек случайно отобранный

00:19:06.095 --> 00:19:09.897
скажет, что он доволен вот этими
преобразованиями — 06.

00:19:10.257 --> 00:19:11.018
Недоволен.

00:19:13.112 --> 00:19:14.834
Один минус 0,6.

00:19:14.954 --> 00:19:18.196
Сколько будет? 0,4.

00:19:19.597 --> 00:19:25.322
Итак. Что такое N?

00:19:30.406 --> 00:19:32.567
Число испытаний.

00:19:35.756 --> 00:19:39.838
Серии. Например, сколько раз я

00:19:39.958 --> 00:19:46.762
бросаю: сколько мы

00:19:46.882 --> 00:19:48.003
спросим корреспондентов

00:19:56.875 --> 00:20:03.557
Число испытаний, в которых

00:20:08.117 --> 00:20:11.438
событие A произошло.

00:20:15.119 --> 00:20:17.039
То есть, смотрите, мы бросаем монету.

00:20:18.109 --> 00:20:20.431
И считаем, сколько раз выпадает аго.

00:20:27.920 --> 00:20:30.163
И считаем, сколько раз выпадает оно.

00:20:32.405 --> 00:20:34.448
Теперь осталось выяснить, а что ж такое ц?

00:20:38.105 --> 00:20:42.186
А Ц — это число сочетаний.

00:20:47.146 --> 00:20:53.586
Ц из M по Maca по

00:20:53.747 --> 00:20:54.867
следующей формуле.

00:20:57.490 --> 00:21:01.053
Понятно, что M больше равно M.

00:21:02.334 --> 00:21:07.737
И называется число сочетаний.

00:21:09.979 --> 00:21:11.420
Что такое число сочетаний?

00:21:11.700 --> 00:21:15.342
Это число способов выбрать из элемент.

00:21:16.414 --> 00:21:23.019
Эм отличающихся составом.

00:21:24.140 --> 00:21:28.865
Ну, например, допустим, у меня 15
студентов.

00:21:30.066 --> 00:21:31.947
Сколько способов у меня выбрать?

00:21:32.500 --> 00:21:34.859
Трёх студентов из пятнадцати.

00:21:38.099 --> 00:21:42.539
Вот если их трое, вариантов немного.

00:21:42.859 --> 00:21:49.538
Так? Допустим, если у меня три студента и,
допустим, мне нужно выбрать

00:21:50.400 --> 00:21:53.997
Двоих. То проблем нет.

00:21:54.357 --> 00:21:58.634
Что у меня может быть? Допустим, Иванов,
Петров, Сидоров.

00:21:58.714 --> 00:22:03.191
Кого я могу выбрать? Иванова, Петрова,
Иванова, Сидорова, Петрова, Сидорова.

00:22:03.271 --> 00:22:04.950
Всё. Три варианта.

00:22:05.909 --> 00:22:06.549
Но как только

00:22:08.929 --> 00:22:11.290
У меня количество увеличивается.

00:22:11.811 --> 00:22:13.492
Допустим, четыре студента.

00:22:13.853 --> 00:22:15.814
Уже чувствуете, вариантов становится
больше?

00:22:16.054 --> 00:22:18.416
А пять. А шесть.

00:22:19.697 --> 00:22:25.021
То есть при увеличении количества
элементов в множестве простым перебором

00:22:26.635 --> 00:22:31.235
Определить вот это число сочетаний очень и
очень непросто.

00:22:35.755 --> 00:22:39.675
Что такое N с восклицательным знаком?

00:22:40.835 --> 00:22:41.995
N факториал.

00:22:42.508 --> 00:22:44.347
То есть факториал. Что такое факториал?

00:22:44.626 --> 00:22:51.542
Это произведение всех натуральных чисел,
начиная с данного, заканчивая

00:22:51.741 --> 00:22:58.217
единицей. То есть N-факториал — это N на n

00:22:58.297 --> 00:23:03.133
-1, на Н минус два и так далее до
единички.

00:23:04.087 --> 00:23:09.768
Причём факториал натурального числа
бывает, одно исключение — факториал нуля

00:23:09.928 --> 00:23:12.208
равен единице.

00:23:16.289 --> 00:23:20.970
Итак, у нас есть формула.

00:23:25.860 --> 00:23:29.697
...который, как я уже говорила, ещё носит
название формула

00:23:29.817 --> 00:23:34.413
Бюрнули.

00:23:35.572 --> 00:23:36.891
Есть у нас число сочетаний

00:23:42.087 --> 00:23:42.847
Итак...

00:23:43.760 --> 00:23:50.194
Мы сказали, что у нас вероятность того,
что наше событие произойдёт и того, что

00:23:50.274 --> 00:23:54.870
оно не произойдёт, если речь идёт о монете
одинаковая, одна вторая.

00:23:56.069 --> 00:24:00.066
Допустим, мы бросаем монету

00:24:00.865 --> 00:24:01.664
Пять раз.

00:24:09.340 --> 00:24:15.337
Задача. Написать.

00:24:20.294 --> 00:24:20.893
Закон.

00:24:22.460 --> 00:24:29.218
Распределение дискретности случайной
величины X и

00:24:29.498 --> 00:24:35.856
Thisla выпадений

00:24:37.615 --> 00:24:38.095
алла.

00:24:40.572 --> 00:24:42.010
Монету бросаем пять раз.

00:24:48.325 --> 00:24:50.123
Иксы п и Т.

00:24:50.523 --> 00:24:54.639
Скажите, если монету бросаем пять раз, что
у нас может выпасть?

00:24:57.077 --> 00:24:58.396
Может, она ни разу не выпасть.

00:24:59.377 --> 00:25:00.855
Нет. Орёл. Почему?

00:25:00.975 --> 00:25:03.094
А орёл, да? Орёл может ни разу не выпасть.

00:25:03.174 --> 00:25:05.532
Нет, монета упадёт всегда у нас, мы
сказали.

00:25:06.571 --> 00:25:13.167
Может выпасть один раз, может выпасть два,
три, четыре и максимум

00:25:13.886 --> 00:25:14.286
пять.

00:25:17.646 --> 00:25:19.608
Как же нам теперь посчитать вероятности?

00:25:19.728 --> 00:25:26.376
Ну, для того чтобы упростить себе жизнь, я

00:25:26.496 --> 00:25:32.904
напишу вот такую формулу: Ц из N m —
свойство сочетания равно ЦН по N минус

00:25:45.000 --> 00:25:49.525
Итак. Сначала нам надо посчитать

00:25:52.448 --> 00:25:58.735
у меня ни разу не выпадет из пяти ни разу.

00:26:08.659 --> 00:26:12.100
Я нашу формулу беру и подставляю в неё
соответствующие значения.

00:26:12.180 --> 00:26:16.220
Вместо M — 5, вместо M — 0.

00:26:19.460 --> 00:26:24.661
Что у нас получается? C из пяти по нулю.

00:26:25.861 --> 00:26:32.825
На одну вторую степени пять минус ноль на
одну вторую в

00:26:32.985 --> 00:26:38.629
нулевой степени. Чему же равно наше это
сочетание?

00:26:38.709 --> 00:26:42.751
Число сочетаний Ц из пяти.

00:26:43.945 --> 00:26:50.431
По нулю. Это будет пять факториал
разделить на пять минус 0

00:26:50.632 --> 00:26:53.875
факториал на 0 факториал.

00:26:56.197 --> 00:26:57.519
Что ж такое пять факториал?

00:26:57.639 --> 00:26:59.721
Это пять на четыре, на три, на два, на
один.

00:27:01.478 --> 00:27:05.314
Произведение. Ну и вообще у меня в
числителе получается пять факториал и в

00:27:05.354 --> 00:27:06.953
знаменателе пять факториал.

00:27:07.712 --> 00:27:13.347
Наши факториалы сокращаются — это же
произведение.

00:27:13.587 --> 00:27:16.185
По всем законам математики получаем
единицу.

00:27:20.901 --> 00:27:21.540
Это понятно?

00:27:23.358 --> 00:27:28.001
Подставляем нашу формулу, мы получаем C из
пяти по нулю — единичка.

00:27:28.401 --> 00:27:34.244
Так, ммм, единичку вставили, 12 в пятой
степени — это одна тридцать вторая

00:27:35.725 --> 00:27:39.327
умножаем на один, будет одна тридцать
вторая.

00:27:40.763 --> 00:27:44.685
Значит, вот в эту первую клеточку я и
записываю значение: одна тридцать вторая.

00:27:49.288 --> 00:27:55.732
Но из пяти по нулю будет равно Ц из пят

00:27:56.493 --> 00:27:57.973
по пять минус ноль.

00:28:04.689 --> 00:28:07.170
Вот по этому свойству.

00:28:08.450 --> 00:28:11.891
Значит, когда я доберусь до окончания

00:28:12.051 --> 00:28:17.812
таблицы, у нас получится вероятность
какая?

00:28:18.715 --> 00:28:20.154
Точно такая же.

00:28:21.353 --> 00:28:22.673
Точно такая же.

00:28:26.711 --> 00:28:33.548
Это понятно? Ну, пожалуйста, можете
подставить все из пяти по пять.

00:28:33.708 --> 00:28:36.027
Пять факториал здесь будет пять минус
пять.

00:28:37.440 --> 00:28:39.200
Факториал ноль, факториал, ноль-факториал.

00:28:39.200 --> 00:28:43.722
Мы сказали — это единичка и пять факториал
точно так же сокращаются и остаётся

00:28:43.842 --> 00:28:50.724
единичка. Теперь, если у меня один вот в
этой формуле

00:28:50.884 --> 00:28:53.765
теперь я должна вместо нуля

00:28:54.709 --> 00:28:55.990
Везде что подставить?

00:28:57.991 --> 00:29:01.713
Единички. Здесь можно даже не считать.

00:29:03.194 --> 00:29:05.596
Почему? Потому что интуитивно понятно.

00:29:05.756 --> 00:29:09.198
Из пяти элементов один я могу выбрать
сколькими способами?

00:29:11.399 --> 00:29:11.920
Пятью.

00:29:15.881 --> 00:29:17.121
То есть у меня пять ручек.

00:29:17.241 --> 00:29:19.601
Да? Сколько способов мне выбрать одну
ручку из пяти?

00:29:19.841 --> 00:29:22.161
Третью, либо первую, либо вторую, да, и
так далее.

00:29:23.161 --> 00:29:29.721
Но здесь у меня также будет одна вторая в
четвёртой степени, на одну вторую в первой

00:29:29.841 --> 00:29:30.961
степени, всё равно будет.

00:29:31.935 --> 00:29:36.732
Единица на два. В пятой степени и умножаем
на пять.

00:29:41.408 --> 00:29:46.364
Абсолютно аналогично.

00:29:46.484 --> 00:29:48.123
Ц из пяти по одному.

00:29:49.097 --> 00:29:53.061
...будет равно вот по нашей формуле, Ц из
пяти по четыре.

00:29:54.902 --> 00:29:56.664
Значит, симметрия наблюдается.

00:29:56.744 --> 00:30:03.550
Вот сюда я запишу такое же значение Ц из
пяти с

00:30:03.670 --> 00:30:04.270
учётом...

00:30:05.500 --> 00:30:08.937
По четыре будет также пять, то есть
вероятность будет точно такая же.

00:30:09.776 --> 00:30:16.531
Видите, семь.

00:30:16.730 --> 00:30:18.529
Ну и последняя пара.

00:30:21.247 --> 00:30:23.645
Если не интересует, два раза выпадет
монета.

00:30:24.254 --> 00:30:26.494
Э-э орёл при бросании монеты.

00:30:26.734 --> 00:30:29.853
Я вот здесь вот везде наши единички должна
поменять

00:30:33.732 --> 00:30:39.811
на двойки. Смотрите, вот это вот часть

00:30:40.211 --> 00:30:40.851
выражения.

00:30:41.855 --> 00:30:46.138
Не изменяется. Ну, всё равно одна вторая в
кубе на одну вторую в квадрате, всё равно

00:30:46.178 --> 00:30:47.459
будет одна тридцать вторая.

00:30:49.620 --> 00:30:51.901
Что будет у меня с?

00:31:00.307 --> 00:31:01.388
Я честно заменяю.

00:31:02.875 --> 00:31:04.474
Соответствующее значение.

00:31:06.034 --> 00:31:07.674
И что же у нас получится?

00:31:13.713 --> 00:31:15.432
В числителе пять факториал.

00:31:15.512 --> 00:31:18.472
В знаменателе 5 минус два три факториал.

00:31:20.756 --> 00:31:22.035
Умножь на два факториала.

00:31:24.473 --> 00:31:25.753
Что мы делаем в такой ситуации?

00:31:25.833 --> 00:31:28.910
Мы расписываем факториал большего числа до
факториала меньшего.

00:31:29.070 --> 00:31:34.227
Пять факториалов я могу расписать так: как
пять, на четыре, на три факториала

00:31:36.825 --> 00:31:38.344
мы просто сократили запись.

00:31:41.046 --> 00:31:44.649
Три на два на один мы записали просто как
три факториала.

00:31:45.049 --> 00:31:46.650
В знаменателе три факториал.

00:31:46.770 --> 00:31:48.451
Два факториала — это просто два.

00:31:50.213 --> 00:31:56.217
Три факториала сокращаются, двойка и
четвёрка сокращаются и остаётся

00:31:57.231 --> 00:31:59.990
Десять. Пять на два — десять.

00:32:03.948 --> 00:32:05.188
Знаменатель тот же.

00:32:05.868 --> 00:32:12.625
Ну и используя вот такое свойство
сочетаний, я могу и в соседнюю клеточку

00:32:12.745 --> 00:32:14.305
написать точно такое же значение.

00:32:22.660 --> 00:32:25.339
Итак, что же мы видим?

00:32:26.259 --> 00:32:32.737
Если я запишу общую формулу

00:32:40.775 --> 00:32:42.535
те значения, которые у нас менялись

00:32:43.889 --> 00:32:48.893
Запишу в виде M.

00:32:52.216 --> 00:32:56.580
То есть M у нас меняется, понятно, от нуля
до пяти.

00:32:57.621 --> 00:33:03.386
То вот такая формула является ничем иным,
как

00:33:04.792 --> 00:33:10.750
Законом распределения дискретной случайной
величины выраженно

00:33:11.589 --> 00:33:17.507
аналитически. То есть в виде формулы, как
обычная функция, вспомните, игрек равно

00:33:17.586 --> 00:33:18.586
икс квадрату, да?

00:33:21.037 --> 00:33:23.797
Вот такая форма, табличная.

00:33:23.917 --> 00:33:27.757
Это тоже закон распределения дискретной
случайной величины.

00:33:27.997 --> 00:33:29.557
Но выраженная в какой форме?

00:33:31.077 --> 00:33:36.317
В табличной. И наконец, мы можем с вами
что сделать?

00:33:38.660 --> 00:33:45.304
Построить соответствующее

00:33:45.705 --> 00:33:49.027
графическое изображение.

00:33:50.187 --> 00:33:53.790
Смотрите, обращаю внимание на то, что

00:33:56.265 --> 00:34:02.703
В отличие от привычной нам декартовые
системы координат, где у меня есть

00:34:02.823 --> 00:34:09.461
отрицательные области, где там четыре
четверти, да в

00:34:09.580 --> 00:34:11.580
нашем случае будет только какая четверть?

00:34:12.674 --> 00:34:14.073
Первое. Почему?

00:34:14.632 --> 00:34:18.829
А наша дискретная случайная величина
принимает только положительные значения.

00:34:19.069 --> 00:34:22.067
А вероятность вообще имеет ограничение
какое?

00:34:24.465 --> 00:34:26.223
От нуля до единицы.

00:34:33.298 --> 00:34:33.857
А дальше

00:34:37.008 --> 00:34:41.446
На оси X я проставляю

00:34:44.885 --> 00:34:51.762
значение нашей дискретной случайной
величины, тут вот

00:34:51.802 --> 00:34:53.082
масштаб немножко увеличу.

00:34:54.687 --> 00:34:55.887
Чтобы лучше было видно.

00:34:56.208 --> 00:35:02.212
А дальше. Вот если у меня ноль, масштаб у
меня по оси

00:35:03.053 --> 00:35:06.455
координат будет гораздо больше, чтобы было
хорошо видно.

00:35:06.975 --> 00:35:13.860
Итак. Для нуля и для пяти у меня
получается

00:35:14.140 --> 00:35:14.941
одинаковое значение.

00:35:16.641 --> 00:35:18.560
Одна тридцать вторая.

00:35:20.039 --> 00:35:20.838
Дальше.

00:35:28.913 --> 00:35:30.592
Пять тридцать вторых.

00:35:30.872 --> 00:35:34.510
Это для единички будет соответствующее
значение и для четырёх.

00:35:35.568 --> 00:35:42.003
И где-то там вот у меня 10 вторых

00:35:42.562 --> 00:35:43.961
для двоечки.

00:35:54.152 --> 00:35:55.671
А теперь я вот это всё возьму.

00:35:58.592 --> 00:35:59.913
И соединю.

00:36:04.075 --> 00:36:06.236
Получилась вот такая ломаная.

00:36:12.559 --> 00:36:13.920
И эта ломаная называется

00:36:15.855 --> 00:36:22.130
Полигон распределения дискретной случайной
величины.

00:36:22.770 --> 00:36:26.766
Полигон распределения дискретной случайной
величины.

00:36:29.884 --> 00:36:33.960
То есть точно так же, как и для обычной
функции.

00:36:35.706 --> 00:36:42.300
Я могу представить закон распределения
таблично, аналитически и

00:36:44.298 --> 00:36:51.051
графически любое исследование,

00:36:51.171 --> 00:36:54.647
какое бы мы с вами ни проводили
социологическое исследование, мы можем

00:36:56.497 --> 00:36:59.937
Результаты анализа записать в виде вот
такой таблички.

00:37:00.537 --> 00:37:06.858
И здесь мы будем использовать, какой
закон, точнее, какое

00:37:07.579 --> 00:37:14.100
определение понятия вероятности
неклассическое, как в данной ситуации?

00:37:14.620 --> 00:37:19.218
А так называемое статистическое или
частотное понятие вероятности.

00:37:19.378 --> 00:37:24.776
То есть, например, мы опросили 100
респондентов и

00:37:26.895 --> 00:37:31.374
какое-то количество, например, там 40
человек сказали «да».

00:37:32.681 --> 00:37:36.522
Значит, мы просто что ищем отношения.

00:37:38.362 --> 00:37:43.122
Это понятно? Числа испытаний, в которых
событие произошло, к полному числу

00:37:43.242 --> 00:37:50.003
испытаний. Какие же бывают характеристики?

00:37:51.813 --> 00:37:54.054
У дискретной случайной величины.

00:37:55.455 --> 00:38:02.179
Ну, кстати, я уже говорила о том, что есть
способ проверки, правильно

00:38:02.699 --> 00:38:07.462
ли в табличном виде мы записали закон
распределения дискретной случайной

00:38:07.582 --> 00:38:09.583
величины. То есть мы должны сравнить

00:38:11.213 --> 00:38:13.172
С единичкой с суммой вероятностей.

00:38:13.612 --> 00:38:19.249
Да? Если мы сложим все наши вероятности,
мы получаем единицу.

00:38:20.369 --> 00:38:25.487
Отсюда мы делаем вывод, что суммарная
вероятность будет чему равна?

00:38:28.925 --> 00:38:29.605
Единице.

00:38:30.170 --> 00:38:35.772
Да? То есть велик шанс, что у нас закон
распределения написан верно.

00:38:37.212 --> 00:38:39.813
Какие бывают характеристики?

00:38:45.615 --> 00:38:48.015
Вот этих самых дискретных случайных
величин.

00:38:54.419 --> 00:38:55.578
Характеристики.

00:39:01.613 --> 00:39:05.570
Значит, иногда прибавляют такое слово —
числовые характеристики.

00:39:06.209 --> 00:39:13.204
Ну, поскольку сами величины, да, они
измеряются, имеют числовые значения.

00:39:13.918 --> 00:39:16.157
Характеристики у них бывают числовые.

00:39:17.237 --> 00:39:21.116
Первая характеристика, которую наиболее
часто

00:39:23.036 --> 00:39:27.195
используют, называют, правда, несколько
иначе

00:39:31.474 --> 00:39:32.634
математическая

00:39:38.497 --> 00:39:45.300
Ожидание. Обозначается

00:39:45.460 --> 00:39:46.781
буквой M.

00:39:50.463 --> 00:39:55.225
То есть математическое ожидание
показывает, какую э-э-э величину, точнее,

00:39:55.265 --> 00:40:00.308
какое значение случайной величины мы
ожидаем наиболее вероятно по вероятности.

00:40:03.881 --> 00:40:05.241
Значит, буква M.

00:40:05.601 --> 00:40:08.960
Случайная величина у нас дискретная — X

00:40:09.200 --> 00:40:15.558
и-и-и наиболее удобно

00:40:16.838 --> 00:40:20.277
для вычисления использовать следующую
формулу.

00:40:25.599 --> 00:40:29.562
Математическое ожидание дискретной
случайной величины мы можем рассмотреть

00:40:29.682 --> 00:40:33.325
как разность математического ожидания
квадрата случайной

00:40:33.445 --> 00:40:41.370
величины.

00:40:41.730 --> 00:40:42.171
Минус

00:40:42.858 --> 00:40:43.977
Квадрат.

00:40:52.292 --> 00:40:55.010
Так, я прошу прощения, я немножко забежала
вперёд.

00:40:59.847 --> 00:41:00.727
Поменяем букву.

00:41:04.519 --> 00:41:06.279
Вот эта штука называется дисперсия.

00:41:06.359 --> 00:41:08.519
Чуть позже я о ней поговорю.

00:41:09.159 --> 00:41:10.560
Дисперсия.

00:41:13.680 --> 00:41:18.080
Но вы уже видите, входит математическое
ожидание, а математическое ожидание — это

00:41:18.200 --> 00:41:20.120
есть сумма произведений.

00:41:27.003 --> 00:41:28.444
Значение случайных величин на

00:41:28.644 --> 00:41:42.176
вероятность.

00:41:42.737 --> 00:41:44.538
Находится очень и очень просто.

00:41:48.090 --> 00:41:54.165
Помните, как-то мы с вами рассматривали
пример очень часто этот термин используют

00:41:54.205 --> 00:41:55.923
— средняя температура по больнице.

00:41:56.203 --> 00:42:02.956
Помните? Вот когда у нас а-а девять
человек в палате числится

00:42:06.838 --> 00:42:12.117
Температура у них 40° по Цельсию.

00:42:13.756 --> 00:42:19.195
Один человек ещё числится, но, к
сожалению, температура у него вот такая.

00:42:20.874 --> 00:42:21.754
Давайте запишем.

00:42:22.870 --> 00:42:24.388
Закон распределения.

00:42:26.586 --> 00:42:28.984
Запишется он очень просто.

00:42:33.740 --> 00:42:35.818
Что у нас является случайной величиной?

00:42:36.458 --> 00:42:42.093
Температура. Мы же не можем предсказать,
заранее повторя человеку, какая у него

00:42:42.133 --> 00:42:42.932
температура, правда?

00:42:43.822 --> 00:42:48.427
И у меня она принимает, эта случайная
величина дискретная: два значения: 0 и 40.

00:42:55.433 --> 00:43:00.758
Вероятность. Сколько у меня всего человек
числится в палате?

00:43:02.224 --> 00:43:06.823
Десять. Значит, в знаменателе у меня будет
десять.

00:43:07.743 --> 00:43:10.383
Сколько человек имеет температуру,
извините, ноль?

00:43:16.222 --> 00:43:18.022
В сумме у нас получается всё прекрасно.

00:43:22.237 --> 00:43:25.755
Единица. Находим математическое ожидание.

00:43:28.593 --> 00:43:31.951
Что я должна сделать? Я должна перемножить
ноль на одну десятую

00:43:37.227 --> 00:43:37.667
плюс

00:43:39.309 --> 00:43:41.471
Сорок на девять десятых.

00:43:42.312 --> 00:43:44.233
Ну, могу очень хорошо умножать.

00:43:44.593 --> 00:43:46.155
Произведение равно нулю.

00:43:51.919 --> 00:43:53.641
То есть получаем тридцать шесть.

00:43:58.084 --> 00:43:59.245
Кто-нибудь догадался?

00:44:01.392 --> 00:44:04.390
Аналог какой широко используемой величины

00:44:09.786 --> 00:44:13.943
представляет собой математическое
ожидание, по-другому называют.

00:44:15.142 --> 00:44:17.101
Скажите, а давайте-ка найдём среднее.

00:44:22.172 --> 00:44:28.654
Среднюю температуру у меня один раз
встречается

00:44:29.014 --> 00:44:31.935
ноль. Правильно? Дальше.

00:44:32.135 --> 00:44:33.056
Девять раз 40

00:44:40.378 --> 00:44:41.979
и делим на общее количество.

00:44:48.900 --> 00:44:54.020
Так аналог чего является математическое
задание?

00:44:54.900 --> 00:45:01.781
Аналог чего? Среднего

00:45:01.861 --> 00:45:04.782
арифметического. Поэтому нам очень любят

00:45:05.420 --> 00:45:08.740
А-а, часто приводить такие данные, как
средняя зарплата, средняя

00:45:08.780 --> 00:45:11.380
продолжительность жизни, да, и так далее.

00:45:12.700 --> 00:45:15.340
Там средние доходы.

00:45:15.420 --> 00:45:17.540
Но мы всегда чувствуем подвох.

00:45:19.140 --> 00:45:19.860
Посмотрите у нас

00:45:22.605 --> 00:45:25.528
Средняя температура или математическое
ожидание — 36.

00:45:26.209 --> 00:45:31.974
Изменив вот эти данные, мы могли подобрать
ситуацию такую, чтобы у нас было 36,6.

00:45:32.454 --> 00:45:37.019
Но мы же видим, здоровых-то у нас там нет
людей в этой самой палате.

00:45:37.219 --> 00:45:38.860
А средняя температура — прекрасно.

00:45:39.919 --> 00:45:45.279
Именно для этого нужна другая величина,
характеризующая

00:45:46.960 --> 00:45:52.000
нашу случайную величину.

00:45:53.480 --> 00:45:58.760
И эта величина называется дисперсия.

00:46:05.681 --> 00:46:07.799
Значит, формулу я уже записала.

00:46:09.517 --> 00:46:10.795
Дисперсия.

00:46:17.907 --> 00:46:21.464
То есть в переводе с количества дисперсия
— это рассеяние разброса.

00:46:22.294 --> 00:46:24.373
То есть рассеяние показывает.

00:46:25.812 --> 00:46:28.371
Как же вычислить? А вот у нас есть
формула.

00:46:30.010 --> 00:46:36.687
Смотрите. Вот сюда мы непосредственно
должны подставить 36 и возвести в

00:46:36.727 --> 00:46:40.285
квадрат. Пожалуйста, её назад посчитайте
нам 36 в квадрате.

00:46:42.087 --> 00:46:48.894
Так, теперь нам необходимо посчитать
математическое

00:46:48.974 --> 00:46:50.816
ожидание квадрата случайной величины.

00:46:50.937 --> 00:46:52.298
Считается очень просто.

00:46:52.819 --> 00:46:55.702
Математическое ожидание квадрата случайной
величины.

00:46:56.343 --> 00:46:56.783
То есть я

00:46:57.567 --> 00:47:01.888
Что делаю? В отличие от формулы нашего
математического

00:47:02.048 --> 00:47:09.529
ожидания,

00:47:10.009 --> 00:47:13.369
когда у меня X в первой степени значение
величины

00:47:13.677 --> 00:47:15.438
Здесь у меня будет в квадрате.

00:47:27.365 --> 00:47:28.685
Значит, я пишу.

00:47:29.366 --> 00:47:30.567
У меня получается ноль.

00:47:32.610 --> 00:47:36.410
В квадрате умножить на одну десятую.

00:47:39.609 --> 00:47:45.368
Плюс 40 в квадрате умножить на одну
десятую.

00:47:47.967 --> 00:47:48.687
И у нас там получается

00:47:50.447 --> 00:47:56.325
Сорок в квадрате.

00:47:56.845 --> 00:48:02.482
Угу. Посчитали.

00:48:02.962 --> 00:48:05.841
Угу. 1600.

00:48:08.800 --> 00:48:09.080
Так.

00:48:09.752 --> 00:48:11.474
И должны разделить это всё на что?

00:48:13.196 --> 00:48:15.079
На десять.

00:48:15.199 --> 00:48:20.885
Да? Дальше мы всё это, что можем сделать?

00:48:22.968 --> 00:48:24.409
Подставить.

00:48:25.330 --> 00:48:25.611
Да?

00:48:27.224 --> 00:48:30.227
И вычесть.

00:48:31.749 --> 00:48:36.193
Итак. Дисперсия.

00:48:40.117 --> 00:48:42.799
Получаем мы.

00:48:42.959 --> 00:48:44.040
Так, ну секундочку.

00:48:44.215 --> 00:48:47.257
— Тридцать шесть в квадрате сколько будет?

00:48:47.217 --> 00:48:50.179
— Шесть. — 1 296.

00:48:52.861 --> 00:48:57.264
Да? Так, и 1 600 у нас, да?

00:48:59.666 --> 00:49:02.107
Если мы отнимем, что у нас получится?

00:49:04.529 --> 00:49:06.250
Если я не ошибаюсь, 144, правильно?

00:49:09.131 --> 00:49:11.853
Нет. Триста четыре.

00:49:12.013 --> 00:49:18.937
Триста четыре. Итак, но дисперсия она
пропорциональна

00:49:19.017 --> 00:49:21.418
квадрату. Теперь мы что должны с вами
сделать?

00:49:22.467 --> 00:49:27.985
Есть ещё такая величина, которая
называется Сигма — среднее

00:49:29.545 --> 00:49:33.144
квадратическое отклонение.

00:49:34.783 --> 00:49:40.142
Что мы должны сделать? Для того чтобы
найти среднее квадратическое отклонение

00:49:40.799 --> 00:49:45.274
Нам нужно просто извлечь корень из
дисперсии.

00:49:47.351 --> 00:49:52.225
И фактически наша величина характеризуется
следующим образом.

00:49:55.102 --> 00:49:56.580
Математическое ожидание.

00:49:59.362 --> 00:50:05.122
Плюс среднее квадратическое отклонение и
математическое ожидание минус

00:50:05.242 --> 00:50:07.002
среднее-квадратическое отклонение.

00:50:10.283 --> 00:50:15.283
Если мы извлечём корень, сколько у нас
получится из трёхсот четыре?

00:50:16.545 --> 00:50:18.826
Ну, чего около 15? Там побольше
пятнадцати.

00:50:21.107 --> 00:50:22.748
Пятнадцать в квадрате, да?

00:50:26.989 --> 00:50:28.230
Семнадцать будет, да?

00:50:28.550 --> 00:50:34.073
То есть, смотрите, если в нашем случае у
меня вот тут будет 36, а тут семнадцать

00:50:34.753 --> 00:50:36.113
плюс тридцать шесть.

00:50:36.267 --> 00:50:39.588
А тут 36 -7°.

00:50:40.268 --> 00:50:42.029
Ну, мы же не забудем про температуру.

00:50:42.189 --> 00:50:46.470
Скажите, на градуснике есть такие пределы:
36

00:50:46.670 --> 00:50:49.751
-17.

00:50:49.991 --> 00:50:51.312
Есть такие значения?

00:50:52.334 --> 00:50:56.939
Девятнадцать. Смотрите, как только
появилась дисперсия и

00:50:56.979 --> 00:51:00.903
среднее-квадратическое отклонение, так
становится понятно, что выборка у нас

00:51:01.263 --> 00:51:07.950
неоднородная, а по среднему мы это
определить не можем.

00:51:09.089 --> 00:51:12.251
Это понятно? Ну, на этом мы с вами
заканчиваем.

00:51:12.491 --> 00:51:13.412
Спасибо за внимание.