WEBVTT

00:00:07.485 --> 00:00:11.568
Учебная дисциплина «Теория вероятностей и
математическая статистика».

00:00:12.249 --> 00:00:15.971
Тема лекции — вычисление
средней-выборочной дисперсии.

00:00:16.051 --> 00:00:21.295
Преподаватель, кандидат педагогических
наук, доцент Романова Татьяна Николаевна.

00:00:22.896 --> 00:00:24.177
План лекции.

00:00:24.654 --> 00:00:29.378
Метод упрощённых вычислений, выборочный
коэффициент ассиметрии, выборочный

00:00:29.458 --> 00:00:35.504
коэффициент эксцесса, понятие оценки
параметров, несмещённая оценка.

00:00:39.748 --> 00:00:43.872
Переходим к следующему пункту: вычисление
выборочных средней и дисперсии.

00:00:44.610 --> 00:00:47.529
При больших и очень малых значениях
варианта.

00:00:48.249 --> 00:00:53.446
Для выборочного среднего и выборочной
дисперсии справедливы следующие свойства.

00:00:54.086 --> 00:00:59.243
Если варианты увеличить или уменьшить на
одно и то же число Ц, то выборочное

00:00:59.323 --> 00:01:02.682
среднее также увеличится или уменьшится на
это число.

00:01:03.278 --> 00:01:06.437
А выборочная дисперсия останется
неизменной.

00:01:08.637 --> 00:01:13.395
Тогда для uita варианты равны X It +

00:01:26.197 --> 00:01:26.918
О варианта

00:01:34.406 --> 00:01:41.213
будет в результате равно X варианта плюс C
в результате вывода формул и дисперсия.

00:01:41.485 --> 00:01:48.484
От варианты в результате вывода будет
равно X квадрат с чертой минус

00:01:49.523 --> 00:01:52.563
X варианты в квадрате.

00:01:52.843 --> 00:01:54.882
Это дисперсия переменной X.

00:02:18.499 --> 00:02:23.421
Второе. Если варианты увеличить или
уменьшить в ваш раз, то выборочное среднее

00:02:23.541 --> 00:02:25.662
также увеличится или уменьшится в ваш раз.

00:02:26.664 --> 00:02:30.348
А выборочная дисперсия увеличится в аж
квадрат

00:02:30.508 --> 00:02:38.996
развительно,

00:02:39.036 --> 00:02:41.519
итое равно S умножить на x итое.

00:02:41.639 --> 00:02:41.679
То

00:02:42.849 --> 00:02:47.449
Варианта будет равна As умножить на x —
варианту, и дисперсия будет в результате

00:02:47.609 --> 00:02:54.248
вывода равна. Аш квадрат умножить на
дисперсию переменной

00:02:54.448 --> 00:03:00.007
X. Из свойств вытекает метод упрощённых
вычислений.

00:03:00.431 --> 00:03:06.348
Вводим новые варианты: UT равно X иT минус
c разделить на H, где Ц и Ash специально

00:03:06.507 --> 00:03:07.907
подобранные постоянные.

00:03:08.107 --> 00:03:13.623
Ц согласно свойства и согласно свойствам
получаем систему тринадцать.

00:03:14.183 --> 00:03:19.900
Варианта будет равна икс — варианта минус
Ц на Ash, дисперсия будет равна единице на

00:03:19.940 --> 00:03:22.058
H в квадрате умножить на D от X.

00:03:24.045 --> 00:03:27.874
Запишите, пожалуйста, пример 13.

00:03:47.586 --> 00:03:51.187
Выборочная дисперсия вычисляется по
сгруппированным данным интервального

00:03:51.227 --> 00:03:56.347
вариационного ряда Formula 7 оказывается
меньше дисперсии, найденной по

00:03:56.507 --> 00:04:01.828
несгруппированным результатам измерений
Формула 6 на величину, приблизительно

00:04:02.028 --> 00:04:03.908
равную SH квадрат на 12.

00:04:04.697 --> 00:04:08.614
Это следует учитывать при округлении
значения дисперсии, сохраняя один

00:04:08.854 --> 00:04:10.332
сомнительный знак.

00:04:10.772 --> 00:04:15.408
Значение выборочной средней округляет при
этом до единиц того разряда, который

00:04:15.688 --> 00:04:19.244
сохранён в наличии в значении выборочной
дисперсии.

00:04:19.604 --> 00:04:21.003
И рассмотрим пример шести.

00:04:21.741 --> 00:04:25.859
Вычислить упрощённым способом среднюю
арифметическую и дисперсию распределения

00:04:25.979 --> 00:04:29.537
рабочих по выборке по данным таблицы 5.

00:04:29.937 --> 00:04:32.856
Итак, таблица пять у вас есть, переписана
она.

00:04:32.936 --> 00:04:38.293
Решение. Возьмём постоянную H, равную
величине интервала.

00:04:40.929 --> 00:04:41.172
То есть

00:04:58.012 --> 00:05:02.334
Аш равно шести, а постоянную C равную
середине одного из двух серединных

00:05:02.414 --> 00:05:06.377
интервалов, например, пятого, то есть C
равно 121.

00:05:06.617 --> 00:05:12.380
Новые варианты теперь имеют вид: Ut равно
X It - 121 разделить на шесть.

00:05:12.621 --> 00:05:15.222
Дальнейшее вычисление представим в таблице
6.

00:05:18.627 --> 00:05:24.067
Итак, в данном случае X итое -1x итое вам
даны.

00:05:24.307 --> 00:05:26.347
Средняя X ita дана.

00:05:26.867 --> 00:05:31.988
У итое мы уже вычисляем: X итое - 121
разделить на 6.

00:05:34.068 --> 00:05:36.308
То есть 97 - 121

00:05:37.060 --> 00:05:38.740
Разделить на 6, -4.

00:05:38.859 --> 00:05:44.017
103 - 121 на 6, -3; 109 - 121 на

00:05:44.097 --> 00:05:50.854
6; 115 - 121 на 6, - 1 и так

00:05:51.014 --> 00:05:53.573
далее. M и нам дано.

00:05:54.368 --> 00:06:01.125
Уите умножить на Mitay: 40 на 3, -12, - 3
на 7, - 21 и так далее.

00:06:01.445 --> 00:06:08.282
И uta в квадрате на Mita: 40 в квадрате 16
на 348, - 3

00:06:08.482 --> 00:06:11.241
в квадрате 9763 и так далее.

00:06:11.614 --> 00:06:15.016
И предлагаю вам таблицу 6 переписать.

00:06:17.538 --> 00:06:19.138
Даю на это несколько минут.

00:10:52.752 --> 00:10:55.513
Так, продолжаем записывать таблицу.

00:11:00.236 --> 00:11:06.479
И обратите внимание: в итоговой строке
таблицы шесть имеем сумму и уитая на MITEA

00:11:06.519 --> 00:11:12.162
30 и сумма UIt в квадрате на MITE 252.

00:14:06.966 --> 00:14:13.412
Тогда у и вернее U варианта равна единице
на 100 умножить на -30

00:14:14.292 --> 00:14:19.216
— это -0,3, U в квадрате 2,52.

00:14:19.497 --> 00:14:22.099
И по формулам 13 находим

00:14:24.904 --> 00:14:31.708
X-варианту и дисперсию.

00:14:32.228 --> 00:14:38.712
Икс-вариантом будет равно 119,2, дисперсия
87,48.

00:14:47.017 --> 00:14:48.656
Запишите, пожалуйста, решение.

00:15:31.189 --> 00:15:36.234
Как видим, найденные значения совпадают с
вычислениями, выполненными в примере пять.

00:15:37.636 --> 00:15:40.318
Следующий пункт — эмпирические моменты.

00:15:41.039 --> 00:15:45.443
Для вычисления сводных характеристик
выборок используют эмпирические моменты,

00:15:45.764 --> 00:15:48.647
аналогичные соответствующим теоретическим
моментам.

00:15:49.296 --> 00:15:53.980
Выборочная средняя и дисперсия
вариационного ряда являются частными

00:15:54.060 --> 00:15:59.865
случаями, более общего понятия моментов
вариационного ряда.

00:16:00.065 --> 00:16:06.631
Выборочный начальный момент катого порядка
определяется по формуле 14.

00:16:34.329 --> 00:16:38.527
В частности, VIT равно X в варианте, то
есть выборочное среднее, является

00:16:38.926 --> 00:16:41.805
выборочным начальным моментом первого
порядка.

00:16:43.404 --> 00:16:48.481
Выборочный центральный момент катого
порядка находится по формуле 15.

00:17:08.878 --> 00:17:14.755
В частности, э-э, выборочный центральный
момент первого порядка равен нулю, второго

00:17:14.915 --> 00:17:21.551
порядка равен дисперсии, то есть
выборочная дисперсия является выборочным

00:17:21.671 --> 00:17:23.949
центральным моментом второго порядка.

00:17:24.389 --> 00:17:25.189
И так далее.

00:17:27.774 --> 00:17:29.652
Третьего порядка, четвёртого.

00:17:30.051 --> 00:17:33.967
Среди моментов высших порядков особое
значение имеют центральные моменты

00:17:34.127 --> 00:17:36.084
третьего и четвёртого порядков.

00:17:36.604 --> 00:17:43.196
Запишите формулы для центральных моментов
третьего

00:17:43.316 --> 00:17:43.835
порядка.

00:17:44.361 --> 00:17:45.569
И четвёртого порядка.

00:19:09.174 --> 00:19:10.614
Асимметрия и эксцесс.

00:19:10.774 --> 00:19:15.252
Нормальное распределение является одним из
наиболее применяемых в математической

00:19:15.412 --> 00:19:19.730
статистике для оценки отклонения
эмпирического распределения от нормального

00:19:19.970 --> 00:19:25.288
используют коэффициенты асимметрии и эксс,
которые служат для сравнения полигона

00:19:25.408 --> 00:19:29.207
теоретических частностей вариационного
ряда с функцией плотности нормального

00:19:29.287 --> 00:19:30.087
распределения.

00:19:33.092 --> 00:19:39.941
Выборочным коэффициентом асимметрии
называется величина A с индексом S и со

00:19:40.061 --> 00:19:42.023
звёздочкой. Формула No 16.

00:19:57.690 --> 00:20:02.408
Выборочный коэффициент эксцесса
определяется по формуле 17.

00:20:19.897 --> 00:20:23.937
Эксцесс характеризует крутизну подъёма
кривой распределения по сравнению с

00:20:23.977 --> 00:20:24.817
нормальной кривой

00:20:39.697 --> 00:20:40.817
нормального распределения

00:20:43.522 --> 00:20:46.321
Асимметрия равна эксцессу и равна нулю.

00:20:46.481 --> 00:20:50.119
При отклонении от нормального
распределения справедлива следующая

00:20:50.199 --> 00:20:53.997
таблица. Пожалуйста, её перечертите.

00:20:55.757 --> 00:20:57.516
Если асимметрия меньше нуля

00:21:00.426 --> 00:21:05.183
Длинная и более пологая часть кривой
распределения расположена слева от

00:21:05.302 --> 00:21:08.180
соответствующей моде точки на оси абсисс.

00:21:08.220 --> 00:21:11.058
Рисунок 11. В дальнейшем покажу эти
рисунки.

00:21:11.697 --> 00:21:15.494
Асимметрия больше нуля, если часть кривой
расположена справа от моды.

00:21:16.215 --> 00:21:22.256
Эксесс — кривая меньше нуля, если кривая
имеет более низкую и полгую вершину.

00:21:22.536 --> 00:21:27.057
И эксцесс больше нуля, если кривая имеет
более высокую и острую вершину.

00:21:27.137 --> 00:21:31.137
Итак, рисунок 11, 12, 13 и 14.

00:21:32.865 --> 00:21:37.300
А тут всё на тринадцатом рисунке показано,
где экстес больше и меньше нуля.

00:21:37.540 --> 00:21:44.494
Поэтому, пожалуйста, для начала перепишите
определение, а в дальнейшем мы уже

00:21:45.373 --> 00:21:47.331
начертим кривые.

00:24:02.343 --> 00:24:04.982
Теперь предлагаю начертить кривые.

00:24:08.501 --> 00:24:13.778
Если асимметрия меньше нуля, рисунок 11
больше.

00:24:14.058 --> 00:24:20.575
Рисунок 12 начертить

00:24:20.655 --> 00:24:21.535
схематично.

00:27:10.979 --> 00:27:13.181
Так, и рисунок 13.

00:27:14.582 --> 00:27:16.905
Показана нормальная кривая.

00:27:17.185 --> 00:27:21.590
И как она будет изменяться, если эксцесс
будет больше нуля?

00:27:21.630 --> 00:27:27.115
Обратите, она более вытянутая и эксцесс
меньше нуля, пологая.

00:27:28.033 --> 00:27:30.875
Нормальная кривая показана пунктирной
линией.

00:27:31.475 --> 00:27:37.599
Также предлагаю начертить, чтобы в
дальнейшем вы могли определять как

00:27:38.080 --> 00:27:42.803
коэффициент асимметрии, так и выборочный
коэффициент эксцесса.

00:31:33.007 --> 00:31:36.245
Следует иметь в виду, что при
использовании указанных характеристик

00:31:36.364 --> 00:31:42.000
сравнения опорными являются предположение
об одинаковых величинах математического

00:31:42.160 --> 00:31:46.596
ожидания и дисперсии для нормального и
теоретического распределения.

00:31:47.595 --> 00:31:51.192
Оценка неизвестных параметров, понятие
оценки параметров.

00:31:52.352 --> 00:31:56.673
Пусть рассматривается случайная величина X
с законом распределения, содержащим один

00:31:56.913 --> 00:31:58.153
из нескольких параметров.

00:31:58.233 --> 00:32:03.594
Например, параметр лямбда в распределении
пуане или параметр математического

00:32:03.794 --> 00:32:07.755
ожидания и среднего квадратического
отклонения для нормального закона

00:32:07.875 --> 00:32:08.635
распределения.

00:32:09.423 --> 00:32:15.776
В результате N-наблюдения получена выборка
X1—X2 и так далее XN, где X IT — результат

00:32:15.856 --> 00:32:20.410
измерения в этом опыте, которую можно
рассматривать как случайную величину,

00:32:20.490 --> 00:32:23.407
имеющую закон распределения случайной
величины X.

00:32:24.803 --> 00:32:29.727
Необходимо оценить параметр тетте,
связанный с законом распределения

00:32:29.927 --> 00:32:32.850
случайной величины X в генеральной
совокупности.

00:32:33.410 --> 00:32:37.574
Приближённое значение неизвестного
параметра Тетта назовём оценкой и

00:32:37.694 --> 00:32:39.735
обозначим Тетта со звёздочкой.

00:32:47.888 --> 00:32:51.568
Любая оценка вычисляется на основе
выборки.

00:32:52.008 --> 00:32:56.407
Вычисляемая на основе выборки есть
значение некоторой функции результатов

00:32:56.647 --> 00:33:01.687
наблюдения. Сама оценка является случайной
величиной, так как зависит от случайных

00:33:01.767 --> 00:33:04.447
величин X1, X2 и так далее X.

00:33:05.056 --> 00:33:09.497
Если произвести другую выборку, то функция
примет, вообще говоря, другое значение.

00:33:10.178 --> 00:33:15.259
Если число наблюдений, опытов сравнительно
невелико, то замена неизвестного параметра

00:33:16.100 --> 00:33:20.261
тета его оценкой, например,
математического ожидания выборочным

00:33:20.381 --> 00:33:21.822
средним приводит к ошибке.

00:33:22.319 --> 00:33:27.476
Эта ошибка в среднем, тем больше, чем
меньшее число опытов.

00:33:28.916 --> 00:33:33.393
Для того чтобы оценка неизвестного
параметра давала хорошее приближение, была

00:33:33.473 --> 00:33:37.671
достаточно близкой к истинному значению
параметра, она должна удовлетворять

00:33:37.751 --> 00:33:39.270
некоторым требованиям. Первое.

00:33:39.857 --> 00:33:43.452
Желательно, чтобы при использовании
величины оценки вместо неизвестного

00:33:43.612 --> 00:33:48.007
параметра тетта мы не делали
систематических ошибок ни в сторону

00:33:48.086 --> 00:33:51.442
завышения, ни в сторону занижения, то есть
чтобы выполнялось равенство.

00:33:51.682 --> 00:33:54.878
Математическое ожидание оценки равно
тетте.

00:33:56.603 --> 00:34:01.325
Если математическое ожидание оценки по
всевозможным выборкам данного объёма равно

00:34:01.405 --> 00:34:05.807
истинному значению определённого
параметра, то оценка называется

00:34:05.927 --> 00:34:11.890
несмещённой. Если же математическое
ожидание стремится к тетто, то оценка

00:34:12.010 --> 00:34:14.731
называется асинтотически несмещённой.

00:34:16.093 --> 00:34:20.212
Требование несмещённости особенно важно
при малом числе наблюдений.

00:34:20.731 --> 00:34:25.609
Второе, желательно, чтобы с увеличением
числа опытов значение случайной величины

00:34:26.529 --> 00:34:31.327
оценки концентрировалось около ТТ, всё
более тесно, то есть чтобы с ростом N

00:34:31.607 --> 00:34:33.166
точность оценки возрастала.

00:34:33.326 --> 00:34:36.205
Если оценка параметра ТТ называется
состоятельной

00:34:38.456 --> 00:34:43.695
Она сходится по вероятности к оцениваемому
параметру, то есть справедливое

00:34:43.735 --> 00:34:50.733
равенство, где эпсилум, сколь угодно малое
положительное число.

00:34:52.332 --> 00:34:55.851
Поскольку мерой рассеяния случайной
величины вокруг её математического

00:34:56.011 --> 00:34:57.410
ожидания является дисперсия

00:34:57.887 --> 00:35:02.125
То есть неравенства Чевысшего для
удовлетворения этого требования,

00:35:02.165 --> 00:35:08.763
достаточно, чтобы оценка была несмещённой,
и предел был равен нулю при N,

00:35:08.763 --> 00:35:10.642
стремящемся к бесконечности.

00:35:12.001 --> 00:35:15.880
Несостоятельные оценки не имеют
практического смысла, поэтому свойство

00:35:16.040 --> 00:35:19.558
состоятельности обязательно для любого
правила оценивания.

00:35:25.355 --> 00:35:29.672
Третье. Несмещённая оценка параметров
теста называется эффективной, если она

00:35:29.792 --> 00:35:34.949
имеет наименьшую дисперсию среди всех
возможных несмещённых оценок, вычисленных

00:35:35.109 --> 00:35:37.508
по выборкам одного и того же объёма.

00:35:37.788 --> 00:35:40.946
Эффективность оценки определяет отношение

00:35:42.438 --> 00:35:49.311
Где дисперсия от тективности и дисперсия

00:35:49.431 --> 00:35:53.506
оценки, соответственно, эффективны и
данные оценок.

00:35:53.946 --> 00:35:59.620
Чем ближе эффективная оценка к единице,
тем эффективнее оценка.

00:36:00.246 --> 00:36:04.681
Если эффективная оценка стремится единице
при стремящимся к бесконечности, то оценка

00:36:04.800 --> 00:36:07.318
называется асинтетически эффективной

00:36:09.504 --> 00:36:14.346
В качестве статистических оценок
параметров желательно использовать оценки,

00:36:14.386 --> 00:36:18.748
удовлетворяющие одновременно требованиям
несмещённости, состоятельности и

00:36:18.828 --> 00:36:23.030
эффективности. Все три свойства определяют
оценку однозначно.

00:36:23.150 --> 00:36:27.312
Но на практике не всегда возможно
выполнение всех перечисленных требований.

00:36:27.837 --> 00:36:33.196
Поэтому приходится использовать оценки, не
обладающие сразу тремя свойствами.

00:36:34.036 --> 00:36:35.476
Метод моментов.

00:36:36.316 --> 00:36:39.836
Можно полагать, что начальные и
центральные эмпирические моменты являются

00:36:40.196 --> 00:36:44.355
состоятельными оценками, соответствующих
теоретическим моментам.

00:36:44.768 --> 00:36:49.286
На этом предположении базируется метод
моментов, который основан на приравнивании

00:36:49.566 --> 00:36:54.563
теоретических моментов рассматриваемого
распределения

00:36:56.602 --> 00:37:02.039
и соответствующих эмпирических моментов
того же порядка.

00:37:02.119 --> 00:37:04.998
При этом различают случаи распределения с
одним параметром

00:37:05.445 --> 00:37:06.765
И с двумя параметрами.

00:37:07.085 --> 00:37:09.126
Первое — оценка одного параметра.

00:37:09.326 --> 00:37:13.808
Пусть задана плотность распределения
функции X и Tetta с одним параметром.

00:37:14.008 --> 00:37:18.169
Согласно методу моментов, приравнивая,
например, соответствующие значения моменты

00:37:18.249 --> 00:37:20.930
первого порядка, то есть среднюю выборку X

00:37:21.780 --> 00:37:24.577
И математическое ожидание распределения M
от X.

00:37:24.697 --> 00:37:28.094
Здесь достаточно одного уравнения
относительно этого параметра.

00:37:28.173 --> 00:37:34.168
M от X равно X варианте

00:37:36.445 --> 00:37:39.003
выборочно средний. Формула 18.

00:37:40.882 --> 00:37:44.642
Поскольку математическое ожидание является
функцией параметра тетта, то оно

00:37:44.882 --> 00:37:48.003
вычисляется при помощи несобственного
интеграла.

00:37:48.923 --> 00:37:50.803
Формула номер девятнадцать.

00:37:51.523 --> 00:37:56.043
Соотношение 18 можно рассматривать как
уравнение с одним неизвестным, которое

00:37:57.477 --> 00:38:03.042
определяет точечную оценку параметра Teta
являющегося

00:38:04.043 --> 00:38:06.565
функцией. Пример семь.

00:38:07.086 --> 00:38:12.331
Методом момента по выборке X1.X2 и так
далее XN найти точечную оценку

00:38:12.411 --> 00:38:14.052
неизвестного параметра лямбда.

00:38:14.527 --> 00:38:19.290
Показательного распределения с известной
функцией плотности распределения F от X,

00:38:19.290 --> 00:38:21.171
где X больше либо равен нулю.

00:38:21.772 --> 00:38:28.537
Функция в данном случае, функция
показательного распределения F от X равна

00:38:28.657 --> 00:38:31.098
лямбде умножить на e в степени минус
лямбда X

00:38:32.610 --> 00:38:34.129
Применим формулу 19.

00:38:34.209 --> 00:38:38.246
При помощи интегрирования по частям найдём
математическое ожидание, которое будет

00:38:38.366 --> 00:38:39.885
равно единице на лямб.

00:38:40.285 --> 00:38:45.841
Далее из формулы 18 получаем, что лямбда
равна единице на выборочную среднюю.

00:38:45.921 --> 00:38:50.517
То есть искомая точечная оценка параметра
лямбда показателем распределения равна

00:38:50.637 --> 00:38:52.156
обратной выборочной средней.

00:38:52.607 --> 00:38:55.884
Лямбда равно единице на X выборочную
среднюю.

00:38:57.402 --> 00:38:59.000
Оценка двух параметров.

00:38:59.360 --> 00:39:01.837
Пусть задана функция плотности
распределения.

00:39:01.997 --> 00:39:05.713
Для нахождения неизвестных параметров
нужно иметь два уравнения, поэтому

00:39:05.953 --> 00:39:07.631
приравниваем друг к другу, соответственно

00:39:08.335 --> 00:39:12.138
Начальные теоретические и эмпирические
моменты первого и второго порядка.

00:39:12.418 --> 00:39:13.700
Формула 20.

00:39:14.380 --> 00:39:16.862
Находим математическое ожидание и
дисперсию.

00:39:17.143 --> 00:39:21.867
Поскольку математическое ожидание и
дисперсия есть функции от тет-1 и два,

00:39:21.907 --> 00:39:25.790
соотношение 20 определяет точечные оценки
этих параметров

00:39:26.290 --> 00:39:29.369
Как функция от выборки: ТЭТ1 и

00:39:29.529 --> 00:39:34.608
ТА28.

00:39:34.688 --> 00:39:38.967
Найти методом моментов по выборке X1.X 2 и
так далее XN.

00:39:39.847 --> 00:39:44.123
Точечные оценки неизвестных параметров
математического ожидания, среднего

00:39:44.203 --> 00:39:47.720
квадратического отклонения нормального
распределения с функцией плотности

00:39:47.920 --> 00:39:50.558
распределения вероятности F от X.

00:39:51.118 --> 00:39:55.874
Итак, нам задана функция плотности
распределения вероятности для нормального

00:39:55.954 --> 00:39:56.674
распределения.

00:39:58.882 --> 00:40:01.963
Решение. Из курса теории вероятностей
известно, что для нормального

00:40:02.003 --> 00:40:07.524
распределения математического ожидание мы
обозначаем A дисперсию — это сигма в

00:40:07.564 --> 00:40:12.366
квадрате. Используя формулу 20, получаем
искомые точечной оценки параметры.

00:40:12.446 --> 00:40:13.806
Математическое ожидание равно

00:40:15.210 --> 00:40:19.408
Экс-варианта и среднее квадратическое
отклонение — корень квадратный из

00:40:19.528 --> 00:40:25.685
дисперсии. Далее метод наибольшего

00:40:25.765 --> 00:40:31.283
правдоподобия. Дискретные случайные
величины, пусть X — дискретная случайная

00:40:31.403 --> 00:40:35.161
величина, которая приняла значение X1.x2 и
так далее, x.

00:40:35.579 --> 00:40:41.064
В результате испытаний пусть известен
закон распределения случайной величины X,

00:40:41.425 --> 00:40:44.828
но неизвестен определяющий его параметр
тетте.

00:40:44.988 --> 00:40:47.991
Требуется найти точную оценку этого
параметра.

00:40:48.352 --> 00:40:52.035
Обозначим вероятность того, что в
результате испытания величина X примет

00:40:52.075 --> 00:40:53.437
значение X и через

00:40:54.124 --> 00:40:56.407
П с координатами и тетта.

00:40:56.567 --> 00:41:02.133
Функция аргумента L определяется при
помощи равенства

00:41:02.453 --> 00:41:08.340
21, где X1.2 и так далее XN —
фиксированные числа, называются функцией

00:41:08.580 --> 00:41:11.543
правдоподобия дискретной случайной
величины X.

00:41:27.345 --> 00:41:31.861
В качестве точечной оценки параметра тета
принимается значение Teta со звёздочкой.

00:41:31.941 --> 00:41:34.859
При котором функция 21 достигает
максимума.

00:41:35.099 --> 00:41:39.695
Такую оценку называют оценкой наибольшего
правдоподобия.

00:41:40.055 --> 00:41:45.091
Функцию натуральный логарифм AL называют
логарифмической функцией правдоподобия.

00:41:47.061 --> 00:41:52.945
Точка максимума у обеих функций одна и та
же, но вместо функции правдоподобия

00:41:53.065 --> 00:41:57.067
удобнее анализировать логарифмическую
функцию правдоподобия.

00:41:57.468 --> 00:41:58.909
Рассмотрим пример девять.

00:41:59.309 --> 00:42:02.831
Методом наибольшего правдоподобия найти
оценку неизвестного параметра

00:42:02.911 --> 00:42:04.632
Пеноменального распределения.

00:42:05.145 --> 00:42:08.949
Итак, дано феноменальное распределение.

00:42:08.989 --> 00:42:14.795
В данном случае формулу Бернули, если в Н1
испытаниях событие A наступило M1 раз и в

00:42:14.835 --> 00:42:17.958
Н2 испытания M2 раза.

00:42:18.558 --> 00:42:23.043
Составим функцию правдоподобия по формуле
21, где P — это тет.

00:42:23.872 --> 00:42:28.751
Тогда функция правдоподобия примет
следующий вид.

00:42:29.390 --> 00:42:36.029
А логарифмическая функция правдоподобия
будет определяться в виде

00:42:36.149 --> 00:42:37.429
равенства.

00:42:40.388 --> 00:42:44.147
Далее находим производную по P и
приравниваем её к нулю.

00:42:45.876 --> 00:42:52.631
Получаем выражение в числителе M1 плю на
П1 минус M1 +2

00:42:52.751 --> 00:42:55.228
+2 разделить на 1 p.

00:42:55.348 --> 00:43:00.784
Приравняли к нулю и решаем данное
уравнение относительно параметра p.

00:43:01.183 --> 00:43:05.939
Тогда П у нас будет равно M1 плюс M2
разделить на N1 + N.

00:43:06.823 --> 00:43:12.105
Нетрудно убедиться, что вторая производная
функции логарифмической функции

00:43:12.265 --> 00:43:16.147
правдоподобия меньше нуля, то есть
полученное значение p является точкой

00:43:16.307 --> 00:43:19.829
максимума логарифмической функции
правдоподобия.

00:43:20.069 --> 00:43:24.591
А значит, эту величину нужно принять в
качестве оценки наибольшего правдоподобия

00:43:24.831 --> 00:43:26.392
неизвестного параметра p.

00:43:27.079 --> 00:43:28.958
Веноменального распределения.

00:43:31.356 --> 00:43:33.474
Непрерывные случайные величины.

00:43:33.834 --> 00:43:38.751
Пусть X — непрерывная случайная величина,
которая приняла значение X1.x2 и так далее

00:43:38.831 --> 00:43:44.267
XN в результате N- испытаний известна
функция распределения плотности.

00:43:44.741 --> 00:43:47.462
Но неизвестен определяющий параметр тетте.

00:43:47.542 --> 00:43:50.343
Требуется найти точную оценку этого
параметра.

00:43:50.703 --> 00:43:57.145
Функция аргумента это в функции
правдоподобия определяется равенством 22,

00:43:57.265 --> 00:43:58.505
где X1 X2.

00:43:59.026 --> 00:44:03.067
фиксированные числа, называются функцией
правдоподобия непрерывной случайной

00:44:03.187 --> 00:44:04.107
величины X.

00:44:06.432 --> 00:44:10.949
Метод оценки наибольшего правдоподобия
неизвестного параметра ТЭТа такой же, как

00:44:11.028 --> 00:44:14.426
и в предыдущем случае. Поиск точки
максимума функции L.

00:44:14.746 --> 00:44:18.783
Если в известной функции распределения
неизвестны два параметра, то функция

00:44:18.863 --> 00:44:21.421
правдоподобия примет следующий вид.

00:44:22.101 --> 00:44:23.540
И тогда необходимой точки

00:44:24.494 --> 00:44:26.733
Максимум функции двух переменных.

00:44:28.093 --> 00:44:32.211
Соответствующие логарифмические функции
наибольшего правдоподобия вводятся так же,

00:44:32.251 --> 00:44:34.930
как и в случае дискретной случайной
величины.

00:44:35.690 --> 00:44:37.289
Рассмотрим пример 10.

00:44:37.809 --> 00:44:41.927
Методом наибольшего правдоподобия найти
оценку неизвестного параметра лямта

00:44:42.087 --> 00:44:44.287
показательного распределения из примера 7.

00:44:44.985 --> 00:44:48.548
Составим функцию правдоподобия, используя
формулу 22.

00:44:48.628 --> 00:44:50.870
В нашем случае Тто равно лямбда.

00:44:51.150 --> 00:44:56.155
Определяем лямбда и найдём логарифмическую
функцию правдоподобия.

00:44:56.515 --> 00:45:01.600
Производную этой функции по лямбре
приравниваем к нулю и получаем равенство,

00:45:01.720 --> 00:45:05.043
что лямбда равно единице разделить на
выборочную среднюю икс.

00:45:05.899 --> 00:45:09.258
Варианту, что совпадает с результатом
примера

00:45:09.578 --> 00:45:14.337
семь.

00:45:14.776 --> 00:45:17.016
Точечная оценка вероятности события.

00:45:17.096 --> 00:45:20.855
Пусть произошло N независимых опытов
случайной величины и Т.

00:45:21.205 --> 00:45:26.569
Индикатор события A в этом опыте X итое
равен единице, если A произошло и нулю,

00:45:26.649 --> 00:45:27.970
если A не произошло.

00:45:28.291 --> 00:45:34.456
Тогда событие A произошло, и X равно сумме
X итого раз и N минус X раз — оно не

00:45:34.576 --> 00:45:39.140
произошло, при этом икс является случайной
величиной, имеющей тот же закон

00:45:39.220 --> 00:45:39.900
распределения.

00:45:40.341 --> 00:45:47.145
Что случайная величина Xим относительную
частоту p

00:45:47.906 --> 00:45:50.908
как оценку по вероятности появления
события.

00:45:51.188 --> 00:45:55.871
Так как опыты независимы, то случайная
величина X распределена по беноменальному

00:45:55.951 --> 00:45:57.912
закону с параметром N и P.

00:45:59.268 --> 00:46:05.824
Учитывая, что математическое ожидание
равно NP, получаем M от P равно p, где p —

00:46:05.864 --> 00:46:08.143
несмещённая оценка вероятности.

00:46:08.423 --> 00:46:14.259
По теореме Бернули имеем предел
стремящимся к бесконечности вероятности p

00:46:14.379 --> 00:46:17.937
минус p со звёздочкой по модулю меньший
эпсилу, равно единице.

00:46:20.918 --> 00:46:23.039
состоятельная оценка p.

00:46:23.279 --> 00:46:27.881
Таким образом, эмпирическая функция
распределения выборки является оценкой

00:46:28.001 --> 00:46:33.003
вероятности события, есть несмещённая
состоятельная оценка функции распределения

00:46:33.123 --> 00:46:35.324
F большой от X случайной величины X.

00:46:37.159 --> 00:46:42.358
Пример 11. Монету подбрасывают N раз,
вероятность выпадения герба при каждом

00:46:42.438 --> 00:46:43.797
подбрасывании равна p.

00:46:43.957 --> 00:46:46.876
В ходе опыта монета выпала гербом N раз.

00:46:47.076 --> 00:46:52.075
Показать несмещённую оценку ТЭТа, равную M
на Н вероятности ТЭТ, равное П.

00:46:52.819 --> 00:46:54.939
Выпадение герба в каждом опыте.

00:46:55.979 --> 00:47:00.619
Решение. Так как число успеков M имеет
распределение бернолей, то математическое

00:47:00.739 --> 00:47:02.219
ожидание равно N на P.

00:47:02.419 --> 00:47:07.499
Следовательно, математическое ожидание от
оценки тетте будет равно тетте.

00:47:07.579 --> 00:47:11.059
Таким образом, тетто и равно N на N
несмещённое.

00:47:16.259 --> 00:47:18.581
Точечная оценка математического ожидания.

00:47:18.862 --> 00:47:24.348
Рассмотрим выборочную среднюю как оценку
генеральной истинного

00:47:25.309 --> 00:47:27.391
значения распределения.

00:47:27.832 --> 00:47:31.756
Итак, математическое ожидание от
выборочной среднее будет равно

00:47:34.692 --> 00:47:39.580
Генеральный средний, где выборочная
средняя, несмещённая оценка для

00:47:39.700 --> 00:47:40.782
генеральной средней.

00:48:06.860 --> 00:48:12.223
По теореме Чебышева имеем предел при м
стремящемся к бесконечности вероятности

00:48:12.543 --> 00:48:17.146
будет равен единице, где выборочная
средняя состоятельная оценка для

00:48:17.546 --> 00:48:19.067
генеральной средней.

00:48:19.707 --> 00:48:22.989
Можно показать, что при нормальном
распределении случайной величины X

00:48:23.725 --> 00:48:27.887
Эта оценка, то есть выборочное средняя,
будет и эффективной.

00:48:28.448 --> 00:48:32.010
На практике во всех случаях в качестве
оценки математического ожидания

00:48:32.811 --> 00:48:37.013
генеральное среднее используется среднее
арифметическое, то есть выборочное

00:48:37.134 --> 00:48:43.338
среднее. Точечная оценка дисперсии при
неизвестном

00:48:43.458 --> 00:48:44.698
математическом ожидании.

00:48:45.335 --> 00:48:50.658
Рассмотрим выборочную дисперсию как оценку
генеральной дисперсии истинного значения

00:48:50.778 --> 00:48:57.101
распределения. Покажем, что математическое
ожидание от выборочной

00:48:57.181 --> 00:49:02.704
дисперсии будет равно Н минус 1 разделить
на Н.

00:49:03.465 --> 00:49:07.583
Умноженное на дисперсию, где D от X —
дисперсии генеральной совокупности.

00:49:07.862 --> 00:49:12.779
Действительно, математическое ожидание
будет определяться следующим равенством.

00:49:12.859 --> 00:49:13.858
Посмотрите вывод.

00:49:25.601 --> 00:49:27.082
Достаточно объёмны.

00:49:27.723 --> 00:49:33.568
И в результате получаем, будет равно N - 1
на Н умножить на дисперсию генеральную.

00:49:33.768 --> 00:49:40.654
Так как математическое, математическое
ожидание от выборочной дисперсии не равно

00:49:41.390 --> 00:49:47.864
Э-э, генеральной дисперсии, то выборочная
дисперсия, смещённая оценка генеральной

00:49:47.944 --> 00:49:53.580
дисперсии. Смещённой оценки, э-э, смещение
оценки произошло потому, что в формуле

00:49:53.739 --> 00:49:58.735
выборочной дисперсии отклонение X и T
отсчитывается не от истинного

00:49:58.855 --> 00:49:59.974
математического ожидания

00:50:00.532 --> 00:50:03.256
От его статистического анализа.

00:50:04.458 --> 00:50:08.984
Чтобы исправить этот недостаток, вводят
исправленную выборочную дисперсию.

00:50:10.066 --> 00:50:11.588
Формула 23.

00:50:31.846 --> 00:50:35.487
Где исправ- где S — исправленное
выборочное среднее квадратическое

00:50:35.647 --> 00:50:42.129
отклонение. Так как предел исправленной
выборочной дисперсии равен

00:50:42.649 --> 00:50:47.650
генеральной дисперсии, то получаем, что
выборочная дисперсия — состоятельная

00:50:47.771 --> 00:50:49.371
оценка генеральной дисперсии.

00:50:49.987 --> 00:50:56.671
Замечание. При больших значениях N разница
между выборочной дисперсией и

00:50:56.751 --> 00:51:01.114
исправленной выборочной дисперсией
невелика, и она практиче- они практически

00:51:01.314 --> 00:51:06.838
равны. Поэтому оценку исправленной
выборочной дисперсии части используют для

00:51:06.958 --> 00:51:09.040
оценки дисперсии при малых выборках.

00:51:09.120 --> 00:51:11.562
Обычно при N меньше либо равно тридцати.

00:51:14.027 --> 00:51:18.309
Пример 12. Вычислить исправленную
дисперсию и исправленное среднее

00:51:18.389 --> 00:51:21.190
квадратическое отклонение по данным
примера N.

00:51:21.590 --> 00:51:28.112
По результатам примера 5 выборочная
дисперсия у нас равна 8,7,48, среднее

00:51:28.192 --> 00:51:30.873
квадратическое отклонение 9,35.

00:51:31.385 --> 00:51:36.466
Тогда по формуле 23 найдём исправленную
выборочную дисперсию, которая будет равна

00:51:36.546 --> 00:51:38.546
88,36.

00:51:38.746 --> 00:51:42.786
Тогда среднее квадратическое отклонение
S9,4.

00:51:42.866 --> 00:51:45.666
Обратите внимание, разница невелика.

00:51:57.373 --> 00:52:01.335
Точечная оценка неизвестного параметра
ТЭТа часто бывает достаточной для

00:52:01.455 --> 00:52:05.337
практических выводов в качестве
первоначальных результатов обработки

00:52:05.497 --> 00:52:10.219
наблюдения. Однако, если есть
необходимость в более детальном анализе,

00:52:10.339 --> 00:52:13.381
то надо оценить несколько истинное
значение параметра.

00:52:14.473 --> 00:52:17.232
расходятся с точечной оценкой этого
значения.

00:52:17.472 --> 00:52:23.749
Вопрос о точности особенно существенен для
выбора небольшого объёма, так как между

00:52:24.028 --> 00:52:28.186
те-оцее оценкой может быть большое
расхождение.

00:52:28.306 --> 00:52:31.944
Кроме того, при решении

00:52:33.475 --> 00:52:34.115
практических

00:52:34.236 --> 00:52:45.047
задачо

00:52:45.127 --> 00:52:47.609
определить и надёжность этих оценок.

00:52:47.769 --> 00:52:51.653
В этом случае возникает задача об
приближении параметра ТТ.

00:52:52.031 --> 00:52:56.834
Не одним числом, а некоторым интервалом:
Тет-1 со звёздочкой, Тетта два со

00:52:56.914 --> 00:53:02.278
звёздочкой. Интервал выбирается таким
образом, чтобы вероятность включения в

00:53:02.358 --> 00:53:08.162
этот интервал параметра Teto была
достаточно велик, близка к единице.

00:53:08.720 --> 00:53:11.840
Говоря более строго, это означает, что
вероятность выполнения двойного

00:53:12.000 --> 00:53:17.199
неравенства тета изменяется от оценки один
к оценке два, не меньше заданного числа

00:53:17.319 --> 00:53:22.278
гамма. Интервал, накрывающий с
вероятностью гамма истинное значение

00:53:22.438 --> 00:53:27.237
параметра те, называется доверительным
интервалом, а вероятность те — надёжностью

00:53:27.357 --> 00:53:29.676
оценки или доверительной вероятностью.

00:53:32.014 --> 00:53:34.133
Чаще всего, но необязательно.

00:53:35.093 --> 00:53:38.692
Доверительный интервал выбирается
симметрично относительно несмещённой

00:53:38.772 --> 00:53:39.972
точечной оценки.

00:53:40.252 --> 00:53:46.130
То есть выбираются интервалы вида тета
минус эпсиум, тета плюс эпсиум такой, что

00:53:46.730 --> 00:53:48.769
вероятность будет равен гамме.

00:53:49.311 --> 00:53:53.992
Формула 24. Число эпсилумов больше нуля
называется точностью оценки.

00:53:54.232 --> 00:53:59.354
Чем меньше разность тетта минус тетто со
звёздочкой, тем точнее оценка.

00:54:00.994 --> 00:54:06.876
Величина гамма для формулы 24 выбирается
заранее, её выбор зависит от конкретной

00:54:06.956 --> 00:54:07.916
решаемой задачи.

00:54:08.380 --> 00:54:14.253
Например, степень доверия авиапассажира к
надёжности самолёта, очевидно, должно быть

00:54:14.413 --> 00:54:18.768
выше степень доверия покупателя к
надёжности телевизора.

00:54:20.406 --> 00:54:26.080
Надёжность гамма принято выбирать равной
9,95,99.

00:54:26.407 --> 00:54:28.885
... и 999.

00:54:29.124 --> 00:54:32.921
Ещё раз подчёркнем, что интервальная
оценка зависит не только от имеющихся

00:54:33.001 --> 00:54:35.919
данных, но и от требуемой надёжности.

00:54:36.159 --> 00:54:42.593
Так, например, при гамме равной 95 на 95%
можно быть уверенным, что доверительный

00:54:42.673 --> 00:54:44.632
интервал покрывает параметр ТЭТА.

00:54:45.100 --> 00:54:50.904
При гамме, равной 99% на 99% можно быть
уверены, что доверительный интервал

00:54:50.984 --> 00:54:52.665
покрывает параметр ТЭТ.

00:54:52.946 --> 00:54:59.551
Это означает, что если сделать много
выборок, то для 95% из них, если гамма

00:54:59.631 --> 00:55:00.591
равна 0,95

00:55:01.165 --> 00:55:04.962
Вычисленные доверительные интервалы
действительно покроют это.

00:55:06.880 --> 00:55:12.276
Приведём неформальный пример, поясняющий
различия точечных интервальных оценок.

00:55:12.795 --> 00:55:17.671
Когда о ком о каком-либо человеке говорят,
ему примерно 38 лет

00:55:22.545 --> 00:55:25.384
Это не что иное, как точечная оценка
возраста.

00:55:25.504 --> 00:55:29.983
Когда же говорят, ему лет 35—40, эта
интервальная оценка, доверительный

00:55:30.063 --> 00:55:32.022
интервал при этом 35—40.

00:55:32.222 --> 00:55:36.460
Надёжность оценки при этом в явном виде не
указывается, но предполагается довольно

00:55:36.540 --> 00:55:37.860
близкое к единице.

00:55:38.790 --> 00:55:41.148
Иногда можно слышать и высказывания такого
рода.

00:55:41.268 --> 00:55:45.066
Ему на вид лет 35—40, по крайней мере, не
более 45.

00:55:45.306 --> 00:55:50.423
Очевидно, что доверительный интервал 35
имеет большую доверительную вероятность,

00:55:50.503 --> 00:55:52.301
чем интервал 35—40.

00:55:52.501 --> 00:55:54.900
Однако интервальная оценка 35—40 более

00:55:55.610 --> 00:56:01.575
информативна, чем интервальная оценка
35—45.

00:56:02.456 --> 00:56:05.058
Односторонние доверительные интервалы.

00:56:05.298 --> 00:56:10.503
Если интерес представляет ситуацию, когда
важно сравнение только с одним критическим

00:56:10.583 --> 00:56:11.063
значением

00:56:11.652 --> 00:56:17.368
То использует односторонние доверительные
интервалы для заданного уровня доверия

00:56:17.568 --> 00:56:21.966
надёжности гамма. Строит двусторонний
доверительный интервал, который затем

00:56:22.006 --> 00:56:24.444
расширяется за счёт одной из его границ.

00:56:25.284 --> 00:56:28.162
Для двустороннего доверительного интервала
имеем гамму

00:56:28.900 --> 00:56:34.613
Равная несобственному интегралу функции F
от X D X.

00:56:36.571 --> 00:56:40.767
С геометрической точки зрения
доверительная вероятность гамма численно

00:56:41.046 --> 00:56:46.081
равна площади заштрихованной области под
графиком дифференциальной функции F-X.

00:56:46.549 --> 00:56:50.584
Вычислены на интервалы: тетта минус
эпсиум, тетта плюс эпсиум.

00:56:50.663 --> 00:56:53.500
Рисунок 4. 14, извините.

00:56:57.854 --> 00:56:59.771
Прошу его начертить.

00:58:20.807 --> 00:58:24.727
Для одностороннего доверительного
интервала справедливо, что вероятность

00:58:24.927 --> 00:58:26.727
равна гамма-штрих.

00:58:26.847 --> 00:58:31.167
В результате получаем односторонние
интервалы от нус-бесконечность до Us с

00:58:31.207 --> 00:58:35.168
индексом p и от Us с индексом p до
+конечности.

00:58:35.368 --> 00:58:36.328
С большей гарантией

00:58:37.485 --> 00:58:40.243
Производная от гамма, рисунок 15—16.

00:58:40.363 --> 00:58:44.998
Таким образом, односторонний подход
позволяет вдвое снизить ошибку Альфа

00:58:45.118 --> 00:58:46.796
единице минус гамма.

00:58:51.392 --> 00:58:56.347
Итак, показан интервал от минус
бесконечности до u с индексом p и от U с

00:58:56.387 --> 00:58:58.425
индексом p до +конечности.

00:58:59.575 --> 00:59:04.494
Также предлагаю перечертить данные
графики, чтобы в дальнейшем вы могли

00:59:04.774 --> 00:59:11.333
приблизительно определить производную

00:59:11.493 --> 00:59:15.492
гамму при помощи рисунков
пятнадцати-шестнадцати.

01:02:32.358 --> 01:02:37.878
Значение параметры с индексом p, для
которого выполняется вероятность

01:02:39.518 --> 01:02:45.437
равная несобственному интервалу от -
бесконечности до с индексом p в функции

01:02:45.797 --> 01:02:48.117
плотности распределения F от X DX.

01:02:48.553 --> 01:02:49.889
Называется квантиль.

01:03:06.270 --> 01:03:10.306
Нахождение квантили заключается в выборе
такого значения, чтобы площадь

01:03:10.426 --> 01:03:13.542
заштрихованной области была равна
вероятности П.

01:03:13.902 --> 01:03:17.857
В статистике для обработки результатов
эксперимента широко используют закон

01:03:17.977 --> 01:03:21.293
распределения Пирсона,
Сьюдента-Фишера-Снедикла.

01:03:21.857 --> 01:03:28.333
Квантили этих распределений табулированы,
и они далее будут предложены в приложении.

01:03:29.412 --> 01:03:33.769
Некоторые распределения функции нормальной
случайной величины — распределение хи-

01:03:33.809 --> 01:03:35.048
квадрат пирсона.

01:03:35.568 --> 01:03:39.526
Распределение хи- квадрат пирсона с К
степенями свободы называется

01:03:40.668 --> 01:03:44.588
Распределением суммы квадратов нормально
распределённых независимых случайных

01:03:44.708 --> 01:03:49.869
величин: X-1, X2 и так далее, XK с
параметром a, равным нулю, и сигма, равная

01:03:49.949 --> 01:03:53.669
единице. То есть математическое ожидание
равно нулю, а среднее квадратическое

01:03:53.829 --> 01:03:55.189
отклонение — единице.

01:03:56.629 --> 01:03:59.830
Тогда плотность этого распределения
определяется формулой.

01:04:02.694 --> 01:04:07.582
В виде системы от X — гамма-функция
Эдлера.

01:04:24.345 --> 01:04:29.297
Гамма-функции Эллера равна X - 1 факториал
для натуральных значений X.

01:04:29.577 --> 01:04:33.770
Распределение c-квадрат определяется
только одним параметром: число степеней

01:04:33.810 --> 01:04:34.649
свободы K.

01:04:45.985 --> 01:04:52.226
График функции для различных значений
числа степеней свободы представлены на

01:04:52.266 --> 01:04:53.587
рисунке 17.

01:04:53.747 --> 01:04:57.908
С увеличением числа степеней свободы при
К, стремящемся к бесконечности

01:04:58.428 --> 01:05:02.189
распределение хи квадрат приближается к
нормальному закону распределения.

01:05:02.921 --> 01:05:09.607
Три К больше тридцати различий практически
нет Итак, рисунок 17,

01:05:10.168 --> 01:05:15.413
К равно двум, четырём, десяти и так далее.

01:05:16.934 --> 01:05:19.537
Числовые характеристики распределения
ЧИ-квадрата.

01:05:20.055 --> 01:05:25.578
Математическое ожидание равно K — числу
степеней свободы, дисперсия от H квадрат

01:05:26.178 --> 01:05:29.300
2K.

01:05:29.860 --> 01:05:34.582
Выборочный коэффициент асимметрии корень
квадратный из 8 разделить на K и

01:05:34.782 --> 01:05:38.464
выборочный коэффициент эксцесса равен 12
разделить на K.

01:05:39.411 --> 01:05:43.728
На практике, как правило, используют не
плотность вероятности, а квантиры

01:05:43.848 --> 01:05:46.127
распределения H- квадрат КТ.

01:05:48.605 --> 01:05:50.364
Распределение стюдента.

01:05:50.564 --> 01:05:56.080
Пусть X1.X2 и так далее XK — независимые
случайные величины, имеющие стандартное

01:05:56.240 --> 01:05:57.959
нормальное распределение с параметром

01:05:58.513 --> 01:06:02.511
Математическое ожидание равно нулю,
среднее-квадратическое отклонение —

01:06:02.591 --> 01:06:07.707
единицы. Распределение студента или
Траспределением с К степенями свободы

01:06:08.027 --> 01:06:13.744
называется распределение отношения T,
равное X разделить на корень квадратный.

01:06:13.970 --> 01:06:14.959
Хи квадрат на К

01:06:40.155 --> 01:06:46.917
Плотность этого распределения определяется
по формуле, которая приведена ниже

01:06:48.197 --> 01:06:53.519
функция плотности распределения, где икс
изменяется от минус бесконечности до плюс

01:06:53.639 --> 01:06:54.960
бесконечности.

01:06:55.120 --> 01:06:56.760
С увеличением значения

01:06:57.610 --> 01:07:01.734
Ка распределение стюдента достаточно
быстро приближается к нормальному

01:07:01.855 --> 01:07:03.176
распределению.

01:07:06.180 --> 01:07:08.502
Вот. Нормальное распределение.

01:07:08.983 --> 01:07:10.424
Рисунок восемнадцатый.

01:07:10.905 --> 01:07:12.987
Числовые характеристики стюдента.

01:07:13.833 --> 01:07:18.956
Математическое ожидание будет равно К
разделить на K -2, где K больше 2.

01:07:19.757 --> 01:07:25.321
Дальше, выборочный коэффициент асимметрии
равен нулю и выборочный коэффициент

01:07:25.481 --> 01:07:28.483
эксцесса 6 разделить на K - 4.

01:07:32.005 --> 01:07:33.687
Прошу записать эти формулы.

01:07:51.992 --> 01:07:55.388
При этом обратите внимание, математическое
ожидание равно нулю.

01:07:56.506 --> 01:07:59.902
Дисперсию мы проговорили.

01:08:00.102 --> 01:08:02.060
Асимметрия и эксцесс.

01:08:20.922 --> 01:08:23.241
Далее распределение фишера Снедикура.

01:08:23.481 --> 01:08:28.479
Ф распределение фишера-снедикура со
степенями свободы K1 и К2 называется

01:08:28.599 --> 01:08:33.517
распределением отношения, которое
представлено в виде равенства: F равно H

01:08:33.757 --> 01:08:36.276
квадрат K1 разделить на К2.

01:08:37.048 --> 01:08:39.968
И хи квадрат от K2 разделить на K2.

01:08:40.208 --> 01:08:46.408
Плотность этого распределения вычисляется
по следующей формуле: F от X, где X больше

01:08:46.728 --> 01:08:47.768
либо равен нулю.

01:09:03.143 --> 01:09:09.104
График плотности F распределения при K1,
равное 10, k2, равное 15, представлен на

01:09:09.144 --> 01:09:11.224
рисунке 19.

01:09:11.504 --> 01:09:15.344
Числовые характеристики распределения
фишера снидикора.

01:09:15.744 --> 01:09:22.105
Итак, математическое ожидание будет равно
К2 разделить на К2 минус A2, где К2 больше

01:09:22.385 --> 01:09:22.665
двух.

01:09:23.711 --> 01:09:30.479
Дисперсия 2 в квадрате умножить на

01:09:30.919 --> 01:09:36.445
К1 плюс К2 минус два в знаменателе 1
умножить на К2 минус два в квадрате и

01:09:36.565 --> 01:09:38.207
умножить на К2 минус 4.

01:09:38.726 --> 01:09:40.247
Где K2 больше четырёх.

01:09:40.327 --> 01:09:43.891
Ну, это понятно, потому что в знаменателе
в данном случае, если будет число четыре,

01:09:43.971 --> 01:09:46.052
то у нас будет ноль, на ноль делить
нельзя.

01:09:46.253 --> 01:09:50.176
И в первом случае при нахождении
математического ожидания K2 больше двух,

01:09:50.256 --> 01:09:54.140
так как, если мы подставим число два, то у
нас опять же появится ноль.

01:10:01.710 --> 01:10:05.626
Доверительные интервалы параметров
нормального распределения.

01:10:05.946 --> 01:10:11.062
Доверительный интервал для оценки
вероятности события A, где P принадлежит

01:10:11.182 --> 01:10:14.699
интервалу от p минус эпсиум до p плюс
эпсилум.

01:10:14.979 --> 01:10:19.095
Первый случай — неизвестен объём
генеральной совокупности N.

01:10:19.441 --> 01:10:24.724
Пусть событие A наступит M раз в Н ис
испытаниях, Н — объём выборки, тогда P

01:10:24.964 --> 01:10:30.887
равно M на N — точечная оценка вероятности
P наступления события в одном испытании.

01:10:33.088 --> 01:10:36.890
Последствии из центральной предельной
теоремы имеем, что гамма

01:10:38.381 --> 01:10:44.822
Будет равно 2 умножить на эпсиум и
умножить на корень квадратный N

01:10:45.022 --> 01:10:46.262
разделить на П-ку.

01:10:46.782 --> 01:10:50.662
Т равно эпсиум умножить на корень
квадратный N ПК.

01:10:50.782 --> 01:10:55.903
И эпсиум равно Т умножить на корень
квадратный П-К умножить на N.

01:10:55.983 --> 01:10:57.343
То есть это вывод из предыдущей

01:10:58.034 --> 01:11:03.231
Формулы. Где Т — аргумент функции лапла F
от T равно гамма пополам.

01:11:03.791 --> 01:11:08.069
Так как P равно приблизительно p со
звёздочкой, ку 1 минус P либо

01:11:08.189 --> 01:11:14.266
приблизительно 1 минус p со звёздочкой, то
Apsion будет равен формуле 22.

01:11:15.146 --> 01:11:17.438
Запишите, пожалуйста, нахождение эпсула.

01:11:38.089 --> 01:11:41.526
Второй случай: известен объём генеральной
совокупности N.

01:11:41.685 --> 01:11:46.481
Тогда для нахождения эпсимум справедлива
формула 26, и отсюда можно получить

01:11:46.561 --> 01:11:49.398
формулу для нахождения объёма выборки N.

01:11:49.797 --> 01:11:53.753
Итак, предлагаю переписать формулу 26 и
27.

01:17:22.424 --> 01:17:26.667
Замечание. Данные формулы справедливы при
всех N, для которых справедливо

01:17:26.827 --> 01:17:32.752
неравенство N приблизительно равно NP со
звёздочкой умножить единице минус p со

01:17:32.832 --> 01:17:34.834
звёздочкой больше девяти.

01:17:38.557 --> 01:17:42.560
Доверительный интервал для оценки
математического ожидания — X.

01:17:43.355 --> 01:17:47.158
Первый случай. Известно среднее
квадратическое отклонение.

01:17:47.399 --> 01:17:52.444
Определим случайную величину X, равную
сумме от X и T, её среднее выборочное

01:17:52.484 --> 01:17:58.770
значение, которое представляет собой сумму
сравнительно большого числа M

01:17:59.010 --> 01:18:00.171
независимых величин.

01:18:00.696 --> 01:18:05.614
И согласно центральной предельной теореме,
имеет распределение ближе к нормальному.

01:18:05.734 --> 01:18:12.692
При этом M равно X генеральной средней
несмещённой оценки.

01:18:13.092 --> 01:18:16.371
Дисперсия выборочная средней.

01:18:17.140 --> 01:18:21.976
Будет равна генеральной дисперсии
разделить на N.

01:18:22.176 --> 01:18:28.611
Отсюда следует, что среднее квадратичное
отклонение выборочное будет равно среднему

01:18:28.731 --> 01:18:31.968
квадратическому отклонению генеральное
разделить на N.

01:18:32.408 --> 01:18:34.126
Отсюда гамма будет равна

01:18:34.716 --> 01:18:39.914
Два фи умножить на дробь эпсиум,
умноженный на корень из N и

01:18:44.353 --> 01:18:47.352
выборочному среднему квадратическому
отклонению.

01:18:47.672 --> 01:18:52.471
Тогда Т будет равно эпсилу умножить на
корень из N разделить на выборочное

01:18:52.551 --> 01:18:54.390
среднее квадратическое отклонение.

01:18:55.050 --> 01:18:57.333
Получаем формулу 24.

01:18:57.893 --> 01:19:04.620
Где T — аргумент функции, Fa T гамма на 2,
мы будем определять при помощи приложения

01:19:04.860 --> 01:19:10.867
2. Из формулы 28 выразим величину N.

01:19:11.312 --> 01:19:13.711
И определим формулу 29.

01:19:26.028 --> 01:19:30.107
Полученное выражение позволяет оценить,
каков должен быть объём выборки, чтобы

01:19:30.267 --> 01:19:31.307
оценить оценку.

01:19:32.378 --> 01:19:36.979
Э-э генеральный средний, приблизительно
равный выборочной, средний, не

01:19:37.059 --> 01:19:42.220
превосходила заданного значения эпсилум с
заданным уровнем доверия к гамме.

01:19:44.221 --> 01:19:48.662
Самостоятельная работа обучающихся
является одной из важнейших составляющих

01:19:48.742 --> 01:19:51.943
образовательного процесса, независимо от
направления подготовки

01:19:52.526 --> 01:19:56.162
И характера работы любой начинающий
специалист должен обладать

01:19:56.241 --> 01:20:00.156
фундаментальными знаниями,
профессиональными умениями и навыками в

01:20:00.196 --> 01:20:04.311
деятельности своего профиля, опытом
творческой, исследовательской деятельности

01:20:04.470 --> 01:20:05.789
по решению новых проблем.

01:20:06.493 --> 01:20:10.176
Самостоятельная работа определяется как
индивидуальная или коллективная учебная

01:20:10.296 --> 01:20:15.660
деятельность, осуществляемая обучающимися
самостоятельно по заданиям преподавателя и

01:20:15.740 --> 01:20:17.221
под его контролем.

01:20:20.864 --> 01:20:22.305
Предлагаются темы

01:20:23.442 --> 01:20:27.877
Для самостоятельной работы: статистическое
распределение выборки, дискретный

01:20:27.957 --> 01:20:32.433
вариационный ряд, непрерывный случай,
полигоны, гистограмма, плотность

01:20:32.713 --> 01:20:34.392
относительной частоты.

01:20:35.391 --> 01:20:40.586
Также вам предлагается перечень основной и
дополнительной учебной литературы,

01:20:40.626 --> 01:20:43.184
необходимой для освоения данной
дисциплины.

01:20:43.823 --> 01:20:45.073
Спасибо за внимание.