WEBVTT

00:00:00.151 --> 00:00:03.588
Нашу лекцию. Операции над множествами.

00:00:05.507 --> 00:00:10.743
Определение: объединением двух множеств: X
игрек называют множество X, объединение

00:00:10.942 --> 00:00:14.380
егрек. Здесь, соответственно, знак
объединения напоминает знак

00:00:19.696 --> 00:00:20.815
знак больше.

00:00:21.975 --> 00:00:23.015
Прошу прощения.

00:00:28.455 --> 00:00:33.695
Напоминает знак больше определением
объединение двух множеств X и игрек

00:00:33.895 --> 00:00:36.215
называется множество X с объединением yк.

00:00:36.255 --> 00:00:37.015
Где, собственно, здесь

00:00:39.615 --> 00:00:44.458
Знак объединения операции каждый элемент,
который принадлежит по крайней мере одному

00:00:44.538 --> 00:00:46.058
из множеств — икс или игрек.

00:00:46.138 --> 00:00:53.021
Иначе говоря, X объединение игрек — это X
какой-то произвольный

00:00:53.141 --> 00:00:54.902
элемент Универсума.

00:00:55.423 --> 00:01:02.299
который принадлежит либо множеству X, либо
множеству igreк

00:01:02.379 --> 00:01:06.817
большое. Пересечением двух множеств: X
большое и iгрек большое называется

00:01:06.937 --> 00:01:10.855
множество, обозначается, соответственно,
как X пересечение игрек.

00:01:11.452 --> 00:01:15.367
Соответственно, знак вот такой
определённый

00:01:18.523 --> 00:01:22.399
с полукруглым уголком вверх, знак операции
пересечения.

00:01:22.718 --> 00:01:26.314
Каждый элемент которого принадлежит
одновременно множеством

00:01:27.472 --> 00:01:30.668
То есть, в данном случае какой-то
произвольный элемент принадлежит

00:01:30.748 --> 00:01:36.263
пересечению в том случае, если он
принадлежит с одной стороны элементам

00:01:36.303 --> 00:01:42.496
множества X, и одновременно же
принадлежит, является элементом множества

00:01:46.063 --> 00:01:49.663
Вот. Для наглядности определённых выше
операций представляет рисунками, так

00:01:49.784 --> 00:01:51.744
называемыми кругами эллера.

00:01:52.024 --> 00:01:56.465
Каждой строкой кругов круг соответствует
множеству, на которое эта операция

00:01:56.665 --> 00:02:02.506
распространяется. Если X большой является
под множеством игрек, то есть X является

00:02:02.986 --> 00:02:07.067
под множеством игрек, то круг,
соответствующий множеству

00:02:09.441 --> 00:02:14.921
Икс оказывается внутри круга,
соответствующего множеству грек.

00:02:15.201 --> 00:02:18.761
То есть, в данном случае вот эта вот
запись X является под множеством игрек,

00:02:18.841 --> 00:02:21.921
может быть изображена соответствующим
рисунком.

00:02:22.401 --> 00:02:24.241
Круг, соответствующий множеству X

00:02:25.097 --> 00:02:29.972
Находится внутри круга, соответствующего
множеству Yeк и не выходит за его границы.

00:02:32.410 --> 00:02:38.403
Для несравнимых множеств X и X или вот X
не равно игрек, как обозначается, эти

00:02:38.523 --> 00:02:41.360
круги могут как пересекаться, так и не
пересекаться.

00:02:42.493 --> 00:02:48.937
То есть, соответственно, в этом случае
есть какая-то общая зона пересечения

00:02:51.219 --> 00:02:56.062
и, соответственно, не равна нулю.

00:02:56.142 --> 00:02:57.503
Вот это вот общая часть.

00:02:57.583 --> 00:03:00.865
Либо общей части нету, не пересекаются, не
равны нулю.

00:03:00.906 --> 00:03:02.226
В любом случае эти элементы

00:03:03.036 --> 00:03:04.758
Мы эти множества несравнимы.

00:03:05.999 --> 00:03:09.162
Множество X iк называют непересекающимся.

00:03:09.362 --> 00:03:13.606
Если X объединение Yeк равно пустому
множеству.

00:03:13.646 --> 00:03:15.968
У таких множеств нет ни одного общего
элемента.

00:03:16.088 --> 00:03:20.372
Пересечение двух каких-либо множеств есть
совокупность общих элементов этих

00:03:20.412 --> 00:03:20.972
множеств.

00:03:21.457 --> 00:03:24.580
А их объединение — полная совокупность
элементов этих множеств.

00:03:24.780 --> 00:03:28.464
На рисунке заштрихованным областям
соответствует множество, которое

00:03:28.624 --> 00:03:32.188
получается при объединении пересечении
двух множеств, представленное элевыми

00:03:32.268 --> 00:03:37.953
кругами. Ну, в данном случае показано
объединение как общая часть множества A и

00:03:39.408 --> 00:03:42.171
Либо пересечение, как общая часть.

00:03:43.053 --> 00:03:47.618
То есть, если элемент относится как к
одному, так и ко второму множеству, вот

00:03:47.819 --> 00:03:49.821
это и есть пересечение множеств.

00:03:50.182 --> 00:03:54.627
Ну и, собственно, всё поле обозначается
как универсал.

00:03:56.062 --> 00:03:59.738
В алгебре множеств пустое множество
аналогично нулю в алгебре чисел.

00:03:59.898 --> 00:04:03.335
Так как для любого множества X большое
имеет место равенство.

00:04:04.054 --> 00:04:07.491
Пересечение, соответственно, любого
множества с пустым множеством — есть

00:04:07.691 --> 00:04:11.208
пустое множество, объединение любого
множества с пустым множеством, есть,

00:04:11.247 --> 00:04:12.726
собственно, само это множество.

00:04:13.523 --> 00:04:17.001
Здесь операция объединения множеств
аналогична сложению чисел, а операция

00:04:17.281 --> 00:04:19.120
пересечения операции умножения.

00:04:21.318 --> 00:04:26.276
Разностью двух множеств: икс и игрек
называют такое множество, указывается как

00:04:26.436 --> 00:04:30.193
через дробь икс, дробь игрек, где дробь —
это знак операции разности.

00:04:30.820 --> 00:04:35.223
Каждый элемент, которого принадлежит
множеству X и не принадлежит игрек.

00:04:35.463 --> 00:04:41.788
То есть X равнится игрек равно икс
принадлежит игрек, но не

00:04:41.868 --> 00:04:47.232
принадлежит кс малое принадлежит множеству
X, но не принадлежит множеству iгрек.

00:04:47.312 --> 00:04:51.235
Вот, собственно, если рассматривать
множество a и B на левых кругах

00:04:52.160 --> 00:04:56.882
То вот мы как раз эту часть видим
заштрихованной, то есть разность A и B

00:04:57.562 --> 00:05:01.283
принадлежит множеству A и не принадлежит
множеству B.

00:05:03.363 --> 00:05:05.884
Множество дополнений X.

00:05:07.067 --> 00:05:11.743
обозначается линии сверху на множество,
называется дополнение множества X, если

00:05:11.903 --> 00:05:15.660
оно содержит все те и только те элементы,
которых нет в X.

00:05:16.020 --> 00:05:22.734
То есть, иначе говоря, дополнение X
большое — это есть X, который принадлежит

00:05:22.814 --> 00:05:25.972
универсаму, все X, которые не принадлежат
X.

00:05:26.602 --> 00:05:29.161
В данном случае показано вот таким
образом.

00:05:29.601 --> 00:05:33.319
То есть, это часть пространства, которое
не входит в

00:05:33.359 --> 00:05:38.436
Xбиение.

00:05:39.147 --> 00:05:44.151
Совокупность не пересекающихся
подмножеств, множества, объединение

00:05:44.311 --> 00:05:47.433
которых равно последнему, называется
разбиением множества икс.

00:05:47.553 --> 00:05:52.357
То есть, иначе говоря, если вот у нас есть
исходное множество, его можно разбить на

00:05:52.477 --> 00:05:54.199
классы множеств.

00:05:54.799 --> 00:06:00.083
Вот. Таким образом, классы объединение
всех классов представляет собой исходное

00:06:00.163 --> 00:06:00.964
множество икс.

00:06:01.428 --> 00:06:04.470
Причём классы между собой не пересекаются.

00:06:06.112 --> 00:06:12.316
Таким образом, вот это вот совокупность
подмножеств и есть является разбиением

00:06:12.356 --> 00:06:17.040
множества X. Из данного определения
следует, что любое множество X со своим

00:06:17.080 --> 00:06:19.522
дополнением X даёт разбиение универсума.

00:06:19.562 --> 00:06:22.564
Ну, на две части, собственно, на X и на
его дополнение.

00:06:23.275 --> 00:06:26.478
Поскольку будут удовлетворяться условия.

00:06:26.598 --> 00:06:31.963
Объединение X с дополнением кс — это есть
универсум, и пересечение X с дополнением X

00:06:32.123 --> 00:06:33.524
— всегда пустое множество.

00:06:33.765 --> 00:06:36.687
То есть как раз соответствует определению
разбиения.

00:06:36.727 --> 00:06:39.850
Ну, в данном случае на две, на два класса
разбиения.

00:06:41.268 --> 00:06:47.987
Алгебра множеств описывается, собственно,
двумя десятью

00:06:49.186 --> 00:06:53.466
выражениями. Прежде всего свойства
коммутативности операций объединения и

00:06:53.586 --> 00:06:55.265
пересечения. То есть

00:07:00.748 --> 00:07:07.587
Коммутативность операции объединения кс
объединение iк равняется игрек

00:07:07.667 --> 00:07:09.707
объединится X. Так и пересечение.

00:07:09.747 --> 00:07:13.787
X-пересечение игрек равняется
игрек-пересечению X.

00:07:14.107 --> 00:07:16.267
Свойства ассоциативности операций.

00:07:16.347 --> 00:07:18.147
То есть, если рассматривать три элемента

00:07:19.937 --> 00:07:24.776
И один одна и та же операция, то в этом
случае скобки значения не имеют.

00:07:24.856 --> 00:07:29.174
То есть объединение с объединением
множеств — это то же самое, что

00:07:30.174 --> 00:07:35.133
объединение множеств в порядке X-грек,
потом объединением Z.

00:07:35.814 --> 00:07:38.737
То же самое относится и к операции
пересечения.

00:07:38.937 --> 00:07:43.222
А вот свойства дистрибутивности здесь
более интересные по сравнению с обычной

00:07:43.262 --> 00:07:49.428
алгеброй. То есть, во-первых, наблюдается
дистрибутивность

00:07:51.150 --> 00:07:51.991
операции.

00:07:56.650 --> 00:08:01.813
Пересечение по отношению к обобщению, так
и наоборот: операции обобщения по

00:08:01.893 --> 00:08:03.253
отношению к пересечению.

00:08:03.734 --> 00:08:08.616
Если, скажем, для алгебры у нас имеется
дистрибутивность

00:08:10.497 --> 00:08:14.458
операции сложения по отношению к
умножению, а второй дистрибутивности нет,

00:08:14.498 --> 00:08:14.538
то

00:08:15.032 --> 00:08:20.356
Ну, в буле в алгебре, собственно, имеют
место обе дистрибутивности, то есть

00:08:20.476 --> 00:08:22.198
правила раскрытия скобок.

00:08:22.758 --> 00:08:28.923
То есть получается, что знак, который
находится перед скобкой, оказывается

00:08:29.043 --> 00:08:29.964
внутри скобок.

00:08:30.506 --> 00:08:36.950
А знак, который находился внутри операции,
то есть X-Z между скобками.

00:08:37.030 --> 00:08:39.751
И вот это правило соблюдается и в первом,
и во втором случае.

00:08:40.031 --> 00:08:42.793
Далее, свойства универсума и пустого
множества.

00:08:43.073 --> 00:08:44.954
Мы их тоже, в принципе, разбирали.

00:08:45.154 --> 00:08:47.115
То есть объединение с пустым множеством.

00:08:47.697 --> 00:08:49.297
Это есть само множество X.

00:08:49.377 --> 00:08:52.336
Пересечение с пустым множеством — это есть
пустое множество.

00:08:54.336 --> 00:08:56.895
Объединение с универсумом — есть
универсум.

00:08:57.175 --> 00:09:00.775
Пересечение с универсум есть исходное
множество.

00:09:01.454 --> 00:09:05.614
Объединение множества и его дополнение —
это есть универсум.

00:09:05.694 --> 00:09:08.973
Пересечение множества и его дополнение —
это есть пустое множество.

00:09:11.113 --> 00:09:13.594
Дополнение пустому множеству есть
универсум.

00:09:13.714 --> 00:09:19.156
И вот здесь, к сожалению, не указано ещё
одно выражение: дополнение

00:09:20.316 --> 00:09:22.837
универсума есть пустое множество.

00:09:24.517 --> 00:09:27.318
Свойства импатентности, то есть действия.

00:09:28.096 --> 00:09:30.535
Одинаковых элементов в рамках одной
операции.

00:09:30.735 --> 00:09:33.374
Икс объединение с X — это и есть исходное
икс.

00:09:33.414 --> 00:09:37.933
То же самое пересечение пересечение
множества икс с самим собой — это есть

00:09:38.093 --> 00:09:39.653
само исходное множество.

00:09:39.932 --> 00:09:41.532
Законы поглощения.

00:09:42.212 --> 00:09:44.451
То есть, если взять объединение

00:09:47.390 --> 00:09:51.388
С пересечением исходного множества X с
другим множеством, то в итоге получаем

00:09:51.507 --> 00:09:55.944
исходное множество. То же самое и в другом
случае, если брать пересечение с

00:09:56.024 --> 00:10:00.821
объединением, то опять же мы имеем
исходное множество X законы поглощения.

00:10:01.021 --> 00:10:04.898
И наконец, правило деморгана, то есть
правило раскрытия большой инверсии.

00:10:07.269 --> 00:10:13.195
Дополнение объединения равняется
пересечению

00:10:13.795 --> 00:10:20.642
дополнений. То же самое дополнение,
пересечение равняется объединению

00:10:20.802 --> 00:10:21.362
дополнений.

00:10:22.235 --> 00:10:27.958
Так, вот приводится справка: Огерст де
Морган, 1806—1871 год.

00:10:28.198 --> 00:10:32.240
Шотландские математики и логики,
независимо от Джорджа Буля пришёл к

00:10:32.321 --> 00:10:34.482
основным идеям математической логики.

00:10:35.202 --> 00:10:36.643
Вот. В принципе, этот набор

00:10:38.414 --> 00:10:41.173
Соотношения и задаём, собственно, полевую
алгебру.

00:10:41.333 --> 00:10:45.252
Другими словами, полевая алгебра задаётся
данным набором соотношений.

00:10:46.811 --> 00:10:52.529
Вот. В принципе, можно рассмотреть
доказательства некоторых соотношений, ну,

00:10:52.569 --> 00:10:53.409
в данном случае вот

00:10:54.287 --> 00:10:57.765
Дистрибутивность может вызывать интерес.

00:10:57.885 --> 00:11:04.881
То есть для этого изначально возьмём
первую посылку, что

00:11:05.521 --> 00:11:10.678
некоторый произвольный элемент X
принадлежит множеству, то есть

00:11:12.040 --> 00:11:14.883
Объединение с пересечением Yek и Z.

00:11:15.925 --> 00:11:22.533
Значит, в соответствии с этим возможны
варианты: если X принадлежит X большому

00:11:23.414 --> 00:11:25.857
либо X не принадлежит X большому.

00:11:25.897 --> 00:11:27.179
Значит, если не принадлежит

00:11:27.970 --> 00:11:29.530
То что получается?

00:11:29.690 --> 00:11:31.411
X не принадлежит X.

00:11:31.651 --> 00:11:36.572
И отсюда, как вывод должен принадлежать,
собственно, второй части, поскольку

00:11:36.732 --> 00:11:38.933
исходный элемент принадлежит объединению.

00:11:39.053 --> 00:11:43.854
То есть, в данном случае кс принадлежит
игрек пересечение Z.

00:11:43.974 --> 00:11:48.376
Ну и отсюда, соответственно, одновременно
должен принадлежать как Xрек большое, так

00:11:48.456 --> 00:11:49.376
и Z большое.

00:11:49.907 --> 00:11:55.707
Так, либо нет. Тогда мы выходим на
посылку, что X принадлежит множеству X

00:11:55.907 --> 00:12:00.508
большое, то есть, соответственно,
принадлежит любому из объединений с этим

00:12:00.508 --> 00:12:03.228
множеством, то есть объединение с iгрек и
объединением Z.

00:12:03.468 --> 00:12:08.308
Так. Ну и вот это всё собираем, мы
получаем выражение, что икс принадлежит

00:12:09.235 --> 00:12:11.077
Пересечению объединений.

00:12:11.477 --> 00:12:14.799
Так, ну это мы доказали тождество только в
одну сторону.

00:12:15.160 --> 00:12:21.845
Для того чтобы доказать тождество, мы
должны взять посылку с обратной

00:12:21.965 --> 00:12:26.328
стороны вот это вот выражение три-а.

00:12:26.880 --> 00:12:32.163
И попытаться вот за начало уже взять конец
наших рассуждений и перейти к началу.

00:12:32.323 --> 00:12:34.364
В принципе, это тут также реализуется.

00:12:34.845 --> 00:12:38.807
Если у нас произвольный элемент Yнадлежит
пересечению множеств, то значит он

00:12:38.927 --> 00:12:40.968
принадлежит каждому из этих множеств.

00:12:41.768 --> 00:12:44.530
Тут рассмотрим вариант принадлежности к X.

00:12:45.152 --> 00:12:51.872
Если да, то мы получаем, соответственно,
что, естественно, мы этот

00:12:52.512 --> 00:12:58.312
выходим на то, что элемент игрек должен
принадлежать пересечению множества X с

00:12:58.352 --> 00:13:00.152
любым другим множеством. Ну, в данном
случае X

00:13:00.778 --> 00:13:05.540
Пересечение Z. Если нет, то мы выходим на
посылки: игрек принадлежит X большой,

00:13:05.661 --> 00:13:08.622
игрек принадлежит Z большой, то есть
принадлежит их пересечению.

00:13:08.942 --> 00:13:15.466
В любом случае мы переходим к посылке, что
X принадлежит именно к объединению с

00:13:15.546 --> 00:13:16.987
пересечениями игрек и Z.

00:13:17.678 --> 00:13:21.795
Ну и отсюда, как вывод, переходим к
исходному

00:13:25.272 --> 00:13:31.267
соотношению. То есть мы доказали с одной
стороны, получили следующую

00:13:34.224 --> 00:13:36.782
выражение, взяли за основу

00:13:37.768 --> 00:13:42.414
Конечное выражение получили исходное.

00:13:42.494 --> 00:13:44.617
Ну и как вариант, доказали тождество.

00:13:44.817 --> 00:13:49.823
То есть в данном случае, как у нас было
показано, тождество три.

00:13:50.063 --> 00:13:52.587
Вот в этом списке свойств.

00:13:53.179 --> 00:13:58.176
Аналогично можно оказать доказать также и
любое из этих множеств, любое из этих

00:13:58.216 --> 00:14:00.974
соотношений. Кортежи.

00:14:01.294 --> 00:14:02.933
Прямое произведение множеств.

00:14:03.373 --> 00:14:06.651
Для обозначения картежей будем
использовать латинские буквы.

00:14:06.931 --> 00:14:08.330
Вот, например, Б.

00:14:09.289 --> 00:14:09.849
В данном случае

00:14:11.590 --> 00:14:13.752
Записываем в скобки.

00:14:14.112 --> 00:14:18.396
И порядок следования элементов для нас
имеет большое значение.

00:14:18.516 --> 00:14:25.123
Причём элементы могут повторяться, поэтому
это несколько другой объект по отношению к

00:14:25.203 --> 00:14:28.446
множеству. То есть кортеж — это просто
запись каких-то элементов.

00:14:29.183 --> 00:14:34.868
Здесь зависит порядок, и элементы могут,
соответственно, и повторяться.

00:14:35.628 --> 00:14:40.472
Вот. Кортеж длины 8—8, для которой здесь
использовано обозначение B.

00:14:41.033 --> 00:14:44.635
Вот. Ну и кортежи 1.3 — не то же самое,
что корттеж 3.1.

00:14:47.770 --> 00:14:54.726
Проекции кортежа. Проекция кортежа V1, V2
на итую

00:14:54.846 --> 00:14:57.365
компоненту. Называется его
Итая-компонента.

00:14:57.525 --> 00:15:03.282
То есть проекция кортежа VIT рав-равня
элемент VIT.

00:15:03.947 --> 00:15:08.505
Вот, а его проекции на K-компоненты с
номерами ИЖ и так далее S, есть кортеж

00:15:08.585 --> 00:15:12.703
длины K, составленный из компонент
исходного кортежа с указанием выше

00:15:12.823 --> 00:15:18.461
номерами. То есть проекция J от кортежа B,
это есть

00:15:19.381 --> 00:15:21.140
кортеж, собственно, длины K.

00:15:21.395 --> 00:15:25.359
Как мы тут сказали, с элементами B, J и
так далее, ВС.

00:15:25.800 --> 00:15:32.526
Например, проекция вторая кортежа AT
равняется, соответственно, T

00:15:32.966 --> 00:15:34.207
вторая позиция.

00:15:35.048 --> 00:15:37.971
Вот. Рассмотрим кортеж компонента.

00:15:39.762 --> 00:15:43.800
Вот. Если рассматривать проекцию на
элементы: третий, пятый, шестой, седьмой,

00:15:43.880 --> 00:15:49.357
девятый, десятый, третий, пятый,
соответственно,

00:15:50.477 --> 00:15:54.635
седьмой, девятый, десятый получаем монету.

00:15:54.874 --> 00:15:59.672
Ну и также интересно вот элемент слон,
стол, стул.

00:16:02.189 --> 00:16:08.875
Мы имеем, соответственно, множество
"со-со-су-со" появилось второй раз.

00:16:09.156 --> 00:16:13.040
Соответственно, из списка множество должно
быть удалено

00:16:16.643 --> 00:16:17.965
следующее определение.

00:16:19.272 --> 00:16:23.674
Если X большое равняется X1 X2.

00:16:23.674 --> 00:16:29.997
XN и Y большое равняется X1 X 2 g
произвольное множество, то множество всех

00:16:30.077 --> 00:16:31.678
пар вида X Yec

00:16:32.334 --> 00:16:36.579
Где первая компонента X принадлежит X
большой, а вторая егек принадлежит егек

00:16:36.659 --> 00:16:40.343
большой, называется прямым произведением
множества X на множество игрек и

00:16:40.464 --> 00:16:43.347
обозначается как икс умножить на игрек.

00:16:43.387 --> 00:16:46.912
Ну, в данном случае со звёздочкой может
быть обозначение в виде крестика.

00:16:47.565 --> 00:16:50.528
Ещё это выражение называется декартовым
произведением.

00:16:50.648 --> 00:16:55.652
То есть декартовое произведение множества
X на множество игрек есть всевозможное

00:16:55.812 --> 00:16:58.974
множество пар элементов этих множеств.

00:16:59.215 --> 00:17:06.060
Скажем, пусть элемент X имеет множество
134, пусть егрек 12,

00:17:06.220 --> 00:17:08.982
соответственно, всевозможное множество
пар.

00:17:09.328 --> 00:17:10.768
...множество X / igrek.

00:17:11.008 --> 00:17:15.208
Следует обратить внимание, что важна
последовательность элементов этой

00:17:15.248 --> 00:17:21.128
операции. То есть первыми элементами всех
этих маленьких картежей будут элементы

00:17:21.208 --> 00:17:23.808
множества икс, а вторыми — элементы
множества игрек.

00:17:23.888 --> 00:17:26.368
Если мы рассматриваем произведение грек на
X

00:17:27.165 --> 00:17:30.719
То, соответственно, первыми элементами
будут элементы множества ей.

00:17:31.199 --> 00:17:35.432
Так, в общем случае произведение множеств
некоммутативно.

00:17:35.672 --> 00:17:39.427
То есть декартовое произведение X- игрек
не равно игрек-кс.

00:17:41.571 --> 00:17:46.447
Если поменять местами компоненты в парах
множества X-грек, то получим множество Yek

00:17:46.487 --> 00:17:50.882
X. Такую операцию перестановки компонент в
парах называют операцией возведения

00:17:51.082 --> 00:17:54.279
множества пар в минус первую степень и
может быть записано.

00:17:54.679 --> 00:17:59.394
То есть, как произведение X-грек в минус
первой степени — то же самое, что игрек-кс

00:18:00.324 --> 00:18:04.005
И вот операции прямого произведения
распространяются на любое число множеств.

00:18:04.245 --> 00:18:06.125
То есть можно взять три множества.

00:18:06.285 --> 00:18:11.166
Соответственно, будет состоять из
всевозможных троек вида X-грек-зет, где,

00:18:11.206 --> 00:18:14.806
соответственно, элементы X малое игрек
малое, Зет мало принадлежат множествам X

00:18:14.926 --> 00:18:16.687
большое и iгрек большое и Зет большое.

00:18:17.176 --> 00:18:23.899
А множество всевозможных Nok видов X1 X2
XN, где, соответственно, X1 принадлежит X1

00:18:24.139 --> 00:18:27.061
большое, X2 мало принадлежит X2 Большое и
так далее.

00:18:27.221 --> 00:18:33.824
X малое принадлежит XN большое, получится
при при умножении множеств X1 X2 X

00:18:34.225 --> 00:18:34.625
большие.

00:18:37.247 --> 00:18:43.961
Пусть множество Xitie числа в интервале от

00:18:44.200 --> 00:18:46.079
единицы до четырёх.

00:18:46.439 --> 00:18:49.236
Даже на отрезке от единицы до четырёх.

00:18:50.115 --> 00:18:53.432
Вот. А грек, соответственно, от одного до
двух.

00:18:53.472 --> 00:18:54.831
Тогда прямым произведением будет

00:18:55.933 --> 00:19:00.530
Произведение двух отрезков: отрезок 14,
отрезок 12.

00:19:00.770 --> 00:19:04.287
То есть это множество точек
прямоугольника, как показано на этом

00:19:04.367 --> 00:19:10.722
рисунке. Который получится, если по оси X
отложить отрезок 14, а по оси грек отрезок

00:19:10.802 --> 00:19:11.362
1—2.

00:19:12.302 --> 00:19:16.308
Вот. На данном рисунке зашрихованная часть
вещественной плоскости является замкнутым

00:19:16.348 --> 00:19:20.835
прямоугольником, поскольку его сторонами
являются замкнутые интервалы, а множество,

00:19:20.915 --> 00:19:25.362
соответственно, AB, CD будет открытым
прямоугольником.

00:20:02.016 --> 00:20:07.180
Следующим базовым понятием дискретной
математики является понятие соответствия.

00:20:08.461 --> 00:20:11.863
Вот. Пусть X большое

00:20:15.516 --> 00:20:20.681
Некоторое множество элементов X1, X2, X N
и так далее; grek большое множество

00:20:20.841 --> 00:20:26.247
элементов X1-грек-2 и так далее, есть
произвольные множества.

00:20:26.287 --> 00:20:28.088
Соответственно, называется тройка.

00:20:28.208 --> 00:20:32.733
То есть кортеж из трёх элементов множеств
X Yeck S.

00:20:33.646 --> 00:20:38.531
Если множество S является подмножеством
декартового произведения X на игрек.

00:20:38.892 --> 00:20:44.217
При этом множество X называется областью
отправления соответствия S.

00:20:44.658 --> 00:20:48.101
Игрек — областью прибытия соответствия S.

00:20:48.382 --> 00:20:50.063
А S — его законом.

00:20:50.570 --> 00:20:55.895
...или графиком. С понятием соответствия
также связывают четыре множества.

00:20:57.456 --> 00:21:02.261
Прежде всего, проекция первое закона
соответствия.

00:21:02.541 --> 00:21:06.945
Это есть область определения соответствия
соответствие S — малое.

00:21:07.265 --> 00:21:11.269
Проекция вторая закона соответствия — это
область значений соответствия S.

00:21:12.412 --> 00:21:19.332
И соответственно Sexo X называется образ X
в игрек.

00:21:19.492 --> 00:21:25.892
То есть это множество всех элементов из
igrek, которые соответствуют данному

00:21:25.972 --> 00:21:29.812
элементу X. Или наоборот — прообраз игрек
в X.

00:21:30.132 --> 00:21:31.412
То есть это наоборот.

00:21:33.348 --> 00:21:38.269
...множество всех элементов X, которое
соответствует данному элементу Y.

00:21:38.549 --> 00:21:42.710
Вот. Из определения всех этих множеств
вытекает следующее соотношение.

00:21:43.070 --> 00:21:45.390
Проекция первая S.

00:21:46.577 --> 00:21:50.255
Является подмножеством множества X.

00:21:50.934 --> 00:21:56.690
То есть область определения соответствия
является подмножеством области

00:21:56.850 --> 00:22:03.245
отправления. Область значений

00:22:03.445 --> 00:22:06.963
соответствия является подмножеством
области.

00:22:08.899 --> 00:22:15.612
Прибытие. Ну и, соответственно, для любого
элемента X образ его в

00:22:15.692 --> 00:22:17.730
igreк является подмножеством YX.

00:22:17.770 --> 00:22:23.444
И для любого элемента igrek прообраз его в
X является подмножеством множества X.

00:22:26.202 --> 00:22:30.925
Если пара X / iк принадлежит S, то
говорят, что элементу X из множества X

00:22:31.125 --> 00:22:33.966
соответствует элемент Yножества Yeк.

00:22:34.046 --> 00:22:34.687
И наоборот.

00:22:35.568 --> 00:22:39.965
Когда X и игрек не принадлежат S, то
говорят, что элементу X множеству X не

00:22:40.085 --> 00:22:42.603
соответствуют элементу iгрек из множества
игрек.

00:22:42.923 --> 00:22:48.079
Поэтому образ X в You есть множество S-X,
составленное из всех тех и только тех

00:22:48.159 --> 00:22:53.435
элементов множества игрек, которые
соответствуют элементу X, принадлежащему X

00:22:53.675 --> 00:22:54.954
большое. А про образ

00:22:57.026 --> 00:23:01.621
С минус первый игрек содержит все те и
только те элементы из X, которым

00:23:01.741 --> 00:23:07.773
соответствует элемент игрек равняется X,
принадлежащий большое.

00:23:09.292 --> 00:23:12.887
Определение соответственно из S малое.

00:23:14.745 --> 00:23:20.380
Множество X gek S называется отображением
или всюду определённым соответствием.

00:23:20.780 --> 00:23:24.297
Если его области отправления и определения
совпадают.

00:23:24.537 --> 00:23:27.814
То есть проекция первое s равно икс.

00:23:28.453 --> 00:23:31.770
Второе — сюрьекцией или серьюктивным
соответствием.

00:23:32.392 --> 00:23:37.868
Если совпадают его области прибытия и
значений То есть проекция вторая закона

00:23:38.028 --> 00:23:40.506
соответствия X равняется игрек.

00:23:40.866 --> 00:23:45.702
Функцией или однозначным соответствием,
если образ любого элемента из множества

00:23:45.822 --> 00:23:47.700
Икс содержит не более одного элемента.

00:23:48.894 --> 00:23:53.932
То есть для каждого X из X число элементов
S X мощность этого множества не более, чем

00:23:54.092 --> 00:23:57.490
один. Инъекцией или индуктивным
соответствием.

00:23:57.610 --> 00:24:02.089
Если прообраз любого элемента из множества
Xрек содержит не более одного элемента.

00:24:03.002 --> 00:24:08.684
То есть для каждого Y число элементов в
прообразе не более, чем один.

00:24:08.805 --> 00:24:11.126
То есть мощность прообраза не более, чем
один.

00:24:11.646 --> 00:24:15.528
Диекцией или взаимооднозначным
соответствием, если оно одновременно

00:24:15.648 --> 00:24:18.970
является отображением сюръекции, функции и
инъекции.

00:24:19.799 --> 00:24:21.520
То есть все перечисленные свойства.

00:24:21.800 --> 00:24:24.562
В данном случае показаны иллюстрации на
графиках.