WEBVTT

00:00:07.007 --> 00:00:08.927
Переходим к третьей лекции.

00:00:09.767 --> 00:00:15.409
Экнометрическое моделирование и темы
условия

00:00:16.089 --> 00:00:18.649
идентифицируемости модели.

00:00:22.330 --> 00:00:25.211
У слово идентификация можно выразить, хотя

00:00:26.022 --> 00:00:31.579
Не точно русскими словами: узнавание,
опознание, установление единства.

00:00:31.739 --> 00:00:38.296
На этом этапе устанавливаются единые или
нет приведённые уравнения со структурными.

00:00:38.816 --> 00:00:43.094
Можно ли по коэффициентам приведённых
уравнений опознать, вычислить коэффициенты

00:00:43.374 --> 00:00:44.693
структурных уравнений?

00:00:45.262 --> 00:00:50.501
Из курса математики известно, что не любая
система уравнений имеет решение.

00:00:50.861 --> 00:00:57.699
Невозможно, например, решить систему двух
уравнений с тремя и более неизвестными.

00:00:59.538 --> 00:01:03.137
Однако система трёх уравнений с двумя
переменными может быть решена.

00:01:03.774 --> 00:01:06.572
Но имеет не одно, а по крайней мере три
решения.

00:01:06.852 --> 00:01:10.049
То есть, опять же, определённого ответа не
имеет.

00:01:11.887 --> 00:01:17.723
Сходная ситуация имеет место и в вопросе
об идентификации системы структурных

00:01:17.842 --> 00:01:20.440
уравнений по приведённым уравнениям.

00:01:25.104 --> 00:01:29.904
Однозначное решение, то есть точную
идентификацию имеет такая система, в

00:01:29.984 --> 00:01:34.824
которой число коэффициентов регрессии
приведённых уравнений точно равно числу

00:01:35.104 --> 00:01:37.663
коэффициентов регрессии структурных
уравнений.

00:01:39.960 --> 00:01:45.196
Модель считается неидентифицированной,
если среди уравнений моделей есть хотя бы

00:01:45.396 --> 00:01:47.594
одно неидентифицированное.

00:01:47.994 --> 00:01:52.430
Модель считается сверхидентифицированной,
если среди уравнений моделей есть хотя бы

00:01:52.670 --> 00:01:55.148
одно сверхидентифицированное.

00:01:57.226 --> 00:02:00.304
Выполнение условия идентифицируемости.

00:02:02.297 --> 00:02:07.532
В модели определяется уравнение
сверхидентифицированное, если два

00:02:07.812 --> 00:02:12.767
некоторых структурных параметра можно
получить более одного численного значения.

00:02:17.084 --> 00:02:22.199
Уравнение называется неидентифицированным,
если одно из структурных параметров

00:02:28.054 --> 00:02:32.654
Невозможно найти по коэффициентам
приведённой модели.

00:02:33.614 --> 00:02:38.214
Если обозначить число эндогенных
переменных в житом уравнении системы через

00:02:38.574 --> 00:02:44.014
S, а число экзогенных предопределённых
переменных, которые содержатся в системе

00:02:44.710 --> 00:02:51.637
Но не входит в данное уравнение через D,
то условие идентифицируемости модели может

00:02:51.918 --> 00:02:58.845
быть записано в виде следующего счётного
правила: D + 1 равно Аш.

00:02:59.726 --> 00:03:01.768
Уравнение идентифицируемо.

00:03:02.228 --> 00:03:09.183
Длю 1 меньше Ash, уравнение
недентифицируемое и D +1

00:03:09.543 --> 00:03:13.020
больше S, уравнение сверхидентифицируемое.

00:03:13.380 --> 00:03:18.097
Для оценки параметров структурной модели
схема должна быть идентифицируемой и

00:03:18.217 --> 00:03:19.696
сверхидентифицируемы.

00:03:22.402 --> 00:03:25.079
Дополнительные условия идентификации.

00:03:28.914 --> 00:03:33.188
Если по условию задачи один из
коэффициентов регрессии является заранее

00:03:33.268 --> 00:03:37.743
известен, например, равен единице, то из
проверки идентификации

00:03:38.299 --> 00:03:41.102
Он исключается, не учитывается.

00:03:41.382 --> 00:03:45.947
Не подлежит идентификации уравнения,
являющееся тождеством, то есть верным при

00:03:46.107 --> 00:03:48.190
любом значении коэффициентов.

00:03:48.830 --> 00:03:53.356
Не подлежит идентификации рекурентная
система уравнений, при которой каждая

00:03:54.026 --> 00:03:58.826
Эндогенная переменная зависит от
предыдущей по графу связи, но не зависит

00:03:58.946 --> 00:04:03.307
от последующих эндогенных, так как
рекурентная система может быть решена без

00:04:03.467 --> 00:04:07.187
преобразования структурных уравнений в
приведённые.

00:04:07.707 --> 00:04:08.587
Легко заметить,

00:04:09.007 --> 00:04:13.252
Простое правило: если все экзогенные
переменные входят в уравнение всех

00:04:13.332 --> 00:04:18.497
эндогенных переменных и последние связаны
друг с другом, то система заведомо не

00:04:18.778 --> 00:04:20.580
идентифицируема.

00:04:22.222 --> 00:04:24.144
В заключение нужно всё же сказать, что

00:04:24.863 --> 00:04:27.901
Что же делать, если система не
идентифицируема?

00:04:28.060 --> 00:04:32.537
Нужно уменьшить число коэффициентов
регрессии в структурных уравнениях, то

00:04:32.577 --> 00:04:35.935
есть исключить один или более экзогенных
факторов.

00:04:36.175 --> 00:04:41.691
Какой из них следует исключать, следует
решить, принимая, принимая в расчёт

00:04:41.850 --> 00:04:43.649
содержательные значения фактора?

00:04:44.189 --> 00:04:47.671
...и тесноту его связи с результативным
эндогенным признаком.

00:04:48.752 --> 00:04:52.914
Если без кого-то, фа- без какого-то
фактора система вообще теряет смысл,

00:04:52.954 --> 00:04:56.916
значит, нужно искать другое эндогенное,
экзогенные переменные, то есть другой

00:04:56.996 --> 00:04:59.037
способ исследования объекта.

00:05:01.639 --> 00:05:03.680
Косвенный метод наименьших квадратов.

00:05:05.576 --> 00:05:10.256
Косвенный метод в наименьших квадратах
предназначен для оценивания структурных

00:05:10.456 --> 00:05:15.656
параметров отдельного уравнения системы и
может дать результат без сочетания с

00:05:15.736 --> 00:05:20.735
другими методами. Например, с двухшаговым
методом наименьших квадратов, только в

00:05:20.815 --> 00:05:21.215
применении

00:05:22.048 --> 00:05:24.647
точно идентифицированному уравнению.

00:05:25.367 --> 00:05:30.686
Наша цель — оценить структурные параметры
Т по уравнениям системы.

00:05:30.846 --> 00:05:37.165
Для анализа Т-уравнения воспользуемся
общей схемой, которая была рассмотрена

00:05:38.433 --> 00:05:43.348
Пункте при выводе четвёртого и пятого
условия идентифицируемости отдельных

00:05:43.468 --> 00:05:45.346
уравнений системы.

00:05:47.704 --> 00:05:52.579
Процедуру статистического оценивания
структурных параметрового уравнения

00:05:52.778 --> 00:05:54.457
системы разбьём на два этапа.

00:05:54.942 --> 00:05:59.506
На первом этапе оцениваем с помощью
обычных методов наименьших квадратах.

00:05:59.666 --> 00:06:05.511
Параметры T равные 1,2 и так далее M, J
равно 1,2 и так далее p.

00:06:05.711 --> 00:06:10.755
Приведённые формулы последовательно,
автономно решая эту задачу для каждого

00:06:10.875 --> 00:06:12.277
отдельного уравнения системы.

00:06:13.785 --> 00:06:18.622
Хорошие свойства получаемых метода
наименьших квадратных оценок, их

00:06:18.702 --> 00:06:22.460
состоятельность, а в случае нормальности
распределения и эффективность

00:06:23.339 --> 00:06:26.977
обеспечивается тем, что в модели
выполняются все условия классической

00:06:27.137 --> 00:06:29.736
линейной модели множественной регрессии.

00:06:30.345 --> 00:06:36.507
На втором этапе используется соотношение,
связывающее структурные параметры итого

00:06:36.627 --> 00:06:41.468
уравнения системы с параметрами
приведённой системы в случае точной

00:06:41.628 --> 00:06:48.349
сверхидентифицируемости двухшаговый и
трёхшаговый

00:06:48.429 --> 00:06:49.790
метод наименьших квадратов.

00:06:53.032 --> 00:06:57.032
Чтобы обойти главное препятствие в
применении обычного метода наименьших

00:06:57.072 --> 00:07:02.352
квадрата к отдельному не идентифицируемому
уравнению, в данном примере это было

00:07:02.552 --> 00:07:07.152
уравнение, описывающее зависимость спроса
от цены и дохода.

00:07:08.833 --> 00:07:14.073
Коррелированность играет роль продиктора
эндогенной переменной со случайностью.

00:07:14.727 --> 00:07:16.126
Со случайными остатками.

00:07:16.246 --> 00:07:21.566
На первом шаге строится регрессия
эндогенной переменной предиктора по

00:07:22.885 --> 00:07:24.605
предопределённой переменной.

00:07:24.805 --> 00:07:29.124
В результате получаем оценённое
регрессивное уравнение.

00:07:30.684 --> 00:07:31.564
На втором шаге

00:07:32.760 --> 00:07:38.393
В правую часть анализируемого уравнения
вместо эндогенной переменной вставлялось

00:07:38.593 --> 00:07:44.186
её регрессивное выражение через X и T, в
результате чего получали уравнения.

00:07:44.546 --> 00:07:49.260
После этого к данному уравнению применялся
обычный метод наименьших квадратов с целью

00:07:49.966 --> 00:07:52.485
...состоятельного оценивания коэффициента.

00:07:52.685 --> 00:07:58.002
С очевидно, вести речь об отдельном
оценивании коэффициентов и в уравнении, в

00:07:58.042 --> 00:08:01.680
котором не имеет смысла, так как
переменные связаны чистой

00:08:02.840 --> 00:08:05.518
мультиколиниарностью по построению.

00:08:06.128 --> 00:08:10.888
Получив оценку параметра, мы к имеющимся
уже двум соотношениям, связывающим

00:08:10.968 --> 00:08:16.729
параметры структурной и приведённой формы,
вытекающим из общей формы, добавили ещё

00:08:17.049 --> 00:08:22.090
одно. После этого, решая систему, мы могли
получить оценки параметров.

00:08:22.619 --> 00:08:24.700
...из уравнения.

00:08:24.860 --> 00:08:28.823
Точно такая же процедура предлагается и в
общем случае.

00:08:29.263 --> 00:08:33.505
Правда, в отличие от упрощённой модели
спроса предложения, содержащей

00:08:33.545 --> 00:08:38.908
единственную предопределённую переменную,
что являлось причиной мультиколлиарности

00:08:39.108 --> 00:08:40.709
переменных X-штрих и Z.

00:08:41.306 --> 00:08:45.066
В реалистичных экономических моделях мы
будем крайне редко сталкиваться с

00:08:45.146 --> 00:08:50.506
проблемой чистой мультиколениарности,
объясняющих переменных на втором шаге

00:08:50.586 --> 00:08:55.305
процедуры. Так как состав предопределённых
переменных в каждом отдельном уравнении

00:08:55.505 --> 00:08:56.785
почти никогда не встречается

00:08:57.630 --> 00:09:02.510
Всего лишь число их априорно.

00:09:04.230 --> 00:09:11.109
Трёхшаговый метод наименьших квадратов был
предложен впервые Зельнером и Тейлором

00:09:12.509 --> 00:09:16.349
в качестве метода статистического
оценивания одновременно всех уравнений

00:09:16.509 --> 00:09:17.988
моделей с учётом возможностей

00:09:19.387 --> 00:09:24.902
...взаимной коррелированности
регрессионных остатков различных уравнений

00:09:25.062 --> 00:09:30.138
этой системы. Этот метод оказывается более
эффективным, чем двойственный метод

00:09:30.218 --> 00:09:31.617
наименьших квадратов.

00:09:31.856 --> 00:09:35.254
Если случайные остатки в различных
уравнениях системы взаимно...

00:09:36.420 --> 00:09:40.301
Коррелированы, то есть их ковареляционная
матрица отлична

00:09:44.262 --> 00:09:45.582
от диагональной.

00:09:45.862 --> 00:09:52.063
Хотя отметим, что в этой системе методы
наименьших квадратных оценок структурных

00:09:52.223 --> 00:09:54.784
параметров системы остаются
состоятельными.

00:09:56.275 --> 00:10:00.871
В трёхшаговом методе наименьших квадратах,
в трёхшаговых методех наименьших квадратах

00:10:00.991 --> 00:10:06.066
сохранены первые два шага в двухшаговом
методе наименьших квадратах.

00:10:06.146 --> 00:10:10.422
Однако полученные в результате этих шагов
автономно для каждого отдельного этого

00:10:10.741 --> 00:10:13.538
уравнения. Оценки структурных параметров.

00:10:14.169 --> 00:10:18.851
И с определёнными соотношениями не
являются окончательными, а пересчитываются

00:10:19.372 --> 00:10:24.014
на третьем шаге следующим образом:
используются для подсчёта выборочной

00:10:24.134 --> 00:10:26.935
коваляционной матрицы случайных остатков.

00:10:27.175 --> 00:10:31.217
А последние, в свою очередь, используются
для одновременного вычисления.

00:10:31.839 --> 00:10:37.119
Оценок всех структурных параметров системы
с помощью общего метода наименьших

00:10:37.159 --> 00:10:38.399
квадратов.

00:10:38.559 --> 00:10:43.159
То в рамках соответствующим образом
построены обобщённой модели множественной

00:10:43.479 --> 00:10:46.759
эгрессии. Вопросы для самоконтроля.

00:10:49.657 --> 00:10:54.540
Назовите основные методы систем
эконометрических уравнений.

00:10:55.460 --> 00:11:00.622
Второй вопрос: каким способом оцениваются
параметры одновременных уравнений?

00:11:02.103 --> 00:11:05.305
Что понимается под идентификацией
структурной модели?

00:11:06.190 --> 00:11:11.152
Четвёртое. Перечислите модели на основе
систем эконометрических уравнений.

00:11:12.793 --> 00:11:17.195
И пятое: как строится структурная модель
спроса и предложения.

00:11:18.995 --> 00:11:20.476
Панельные данные.

00:11:22.677 --> 00:11:25.918
Панельные данные состоят из наблюдений
одних и тех же

00:11:26.620 --> 00:11:31.937
экономических единиц или объёмов:
индивидуумы, домашние хозяйства, фирмы,

00:11:32.017 --> 00:11:37.934
регионы, страны и тому подобное, которые
осуществляются в последовательные периоды

00:11:38.094 --> 00:11:43.251
времени. Примерами могут служить ежегодные
бюджетные обследования одних и тех же

00:11:43.371 --> 00:11:44.370
домашних хозяйств.

00:11:44.946 --> 00:11:50.101
Ежеквартальные данные о деятельности
фиксированного множества предприятий,

00:11:50.301 --> 00:11:54.777
ежегодные социально-экономические
показатели определённой группы стран.

00:11:55.017 --> 00:12:01.091
Таким образом, панельные данные сочетают в
себе как данные пространства-типа, так и

00:12:01.171 --> 00:12:01.451
данные

00:12:02.152 --> 00:12:07.911
...временных рядов. В каждый момент
времени имеются данные пространства типа

00:12:09.111 --> 00:12:11.190
по экономическим единицам.

00:12:11.790 --> 00:12:15.869
И для каждого такого объекта
соответствующие ему данные образуют один

00:12:16.229 --> 00:12:17.749
или несколько временных рядов.

00:12:18.926 --> 00:12:23.210
Благодаря специальной структуре панельные
данные позволяют строить более гибкие и

00:12:23.290 --> 00:12:28.094
содержательные модели и получать ответы на
вопросы, которые недоступны только в

00:12:28.134 --> 00:12:32.778
рамках, например, моделей, основанных на
пространственных данных.

00:12:33.219 --> 00:12:36.301
В частности, возникает возможность
учитывать и анализировать

00:12:38.383 --> 00:12:44.749
Индивидуальное отличия между
экономическими единицами, что нельзя

00:12:44.789 --> 00:12:48.113
сделать в рамках стандартной регрессивной
модели.

00:12:49.794 --> 00:12:54.639
Классический пример такой ситуации,
вошедшей в большинство книг, посвящённых

00:12:54.880 --> 00:12:56.201
панельным данным, привёл

00:12:56.918 --> 00:13:03.071
Э-э Бар в 1973 году.

00:13:03.191 --> 00:13:07.347
Предположим, что ежегодное исследование
рынка труда показало, что процент

00:13:07.507 --> 00:13:10.943
работающих замужних женщин равен 50%.

00:13:11.183 --> 00:13:13.740
Как можно интерпретировать этот факт?

00:13:14.643 --> 00:13:16.721
Возможны две крайние точки зрения.

00:13:16.841 --> 00:13:20.638
Согласно первой, полученный результат
означает, что каждая замужняя женщина

00:13:20.758 --> 00:13:24.235
имеет шанс 50% работать в течение года.

00:13:24.555 --> 00:13:29.511
Согласно второй, результат исследования
показывает, что 50% всех замужних женщин

00:13:29.871 --> 00:13:33.828
работают полный рабочий день, а остальные
50% вообще не работают.

00:13:34.627 --> 00:13:40.264
Ясно, что прогноз состояния рынка труда
будет существенно разный, в зависимости от

00:13:40.384 --> 00:13:42.742
того, какая ситуация имеет место.

00:13:43.102 --> 00:13:47.899
Более или менее адекватное представление о
реальном положении можно получить, если

00:13:48.139 --> 00:13:52.617
проследить историю некоторого числа
индивидуумов в течение определённого

00:13:52.776 --> 00:13:53.616
периода времени.

00:13:55.367 --> 00:13:57.924
То есть в рамках недельных данных.

00:13:59.562 --> 00:14:04.037
Можно привести ещё несколько примеров,
показывающих, что панельные данные дают

00:14:04.237 --> 00:14:10.150
возможность учесть эффекты, которые
невозможно проследить, оставаясь в рамках

00:14:10.190 --> 00:14:11.149
обычной модели.

00:14:13.507 --> 00:14:19.788
При изучении величины ВВП на душу
населения имеется возможность для

00:14:19.948 --> 00:14:24.989
какой-либо страны в каждый период времени
наблюдать уровень инфляции, объём

00:14:25.349 --> 00:14:28.029
инвестиций, денежную массу и тому
подобное.

00:14:28.149 --> 00:14:32.830
Но кроме этого существуют факторы, которые
либо не наблюдаемы, либо нельзя

00:14:32.910 --> 00:14:34.430
представить в численной форме.

00:14:34.767 --> 00:14:39.893
Но которые могут оказывать существенное
влияние на исследуемый показатель:

00:14:40.333 --> 00:14:45.738
географическое положение, история,
культурные традиции и так далее.

00:14:46.059 --> 00:14:51.504
При этом действие этих факторов можно
считать постоянными, то есть независящим

00:14:51.584 --> 00:14:52.145
от времени.

00:14:54.058 --> 00:15:00.898
для каждой национальной экономики, имея
лишь пространственные данные для

00:15:01.138 --> 00:15:07.778
некоторых стран можно определить влияние
обычных экономических факторов на величину

00:15:07.978 --> 00:15:10.178
ВВП на душу населения.

00:15:10.855 --> 00:15:16.813
Но нельзя выявить индивидуальные различия
между странами при наличии наблюдения за

00:15:16.893 --> 00:15:19.772
одним и теми же странами в течение
нескольких.

00:15:21.131 --> 00:15:26.570
На микроуровне одна из традиционных задач
— объяснение расходов домашних хозяйств.

00:15:27.122 --> 00:15:30.678
На тот или иной товар, например средства
личной гигиены.

00:15:31.038 --> 00:15:35.513
Можно собрать пространственные данные,
включив в них экономические, социальные,

00:15:35.712 --> 00:15:40.787
демографические характеристики семьи и
тому подобное и получить значимую

00:15:40.947 --> 00:15:44.822
зависимость расходов на изучаемый товар от
семейного дохода.

00:15:45.915 --> 00:15:50.632
Однако панельные данные могут показать,
что доход не всегда оказывает существенное

00:15:50.712 --> 00:15:55.868
влияние, а разницу в расходах следует
объяснять семейными традициями, уровнем

00:15:55.908 --> 00:16:01.225
культуры и другими факторами, не всегда
поддающимися измерению и наблюдению.

00:16:05.709 --> 00:16:11.034
Часто индивидуальные факторы коррелированы
с другими объясняющими переменными.

00:16:11.715 --> 00:16:16.519
Так, например, общий уровень культуры
семьи и уровень её дохода, естественно

00:16:16.799 --> 00:16:20.883
считать связанными в рамках модели
регрессии.

00:16:20.963 --> 00:16:21.523
Что означает

00:16:22.455 --> 00:16:27.820
Что индивидуальный фактор является
существенной переменной в модели и её

00:16:28.060 --> 00:16:31.663
исключение приводит к смещённым оценкам
остальных параметров.

00:16:32.103 --> 00:16:38.028
Иными словами, модели с панельными данными
позволяют получать более точные оценки

00:16:38.188 --> 00:16:38.828
параметров.

00:16:40.421 --> 00:16:45.904
В то же время, поскольку панельные данные
содержат наблюдения за одним и тем же

00:16:46.265 --> 00:16:51.468
объектом в разные периоды времени,
предположение о взаимной независимости

00:16:51.628 --> 00:16:56.071
этих наблюдений становится нереалистичным,
поэтому анализ этих моделей может быть

00:16:57.038 --> 00:17:01.154
Потребовать применения более тонких по
сравнению с обычным методом «наименьших

00:17:01.194 --> 00:17:08.189
квадратов», методов оценивания В настоящее
время

00:17:08.389 --> 00:17:13.585
существует много баз панельных данных как
на микро, так и на макроуровне.

00:17:19.155 --> 00:17:20.154
Они вам представлены

00:17:29.587 --> 00:17:31.505
обозначения основные модели.

00:17:31.785 --> 00:17:36.021
При работе с реальными панельными данными
всегда возникает проблема, какую модель

00:17:36.421 --> 00:17:40.338
обычная регрессия, фиксированная или
случайный эффект следует выбрать?

00:17:41.120 --> 00:17:45.886
На содержательном уровне разницу между
моделями можно интерпретировать следующим

00:17:46.006 --> 00:17:52.414
образом. Обычная модель предполагает, что
у экономических единиц нет индивидуальных

00:17:52.574 --> 00:17:57.179
различий. И в некоторых простых ситуациях
такое предположение оправдано.

00:17:57.871 --> 00:18:01.876
В модели с фиксированным эффектом
считается, что каждая экономическая

00:18:01.996 --> 00:18:06.441
единица уникальна и не может
рассматриваться как результат случайного

00:18:06.601 --> 00:18:09.684
выбора из некоторой генеральной
совокупности.

00:18:10.005 --> 00:18:13.128
Такой подход вполне справедлив, когда речь
идёт о странах

00:18:13.700 --> 00:18:18.295
...в крупных регионах, отраслях
промышленности, больших предприятиях.

00:18:18.895 --> 00:18:23.490
Если же объекты попали в панель случайно,
в результате выборки и в большей

00:18:23.530 --> 00:18:27.966
совокупности, то приемлемой является
модель со случайным эффектом.

00:18:28.445 --> 00:18:32.482
Примером могут служить небольшие фирмы,
домашние хозяйства, индивидуумы.

00:18:33.416 --> 00:18:37.139
Следует, однако, подчеркнуть, что и в
подобных ситуациях, особенно для

00:18:37.259 --> 00:18:42.504
небольшого числа экономических единиц,
может возникнуть вопрос о наличии

00:18:44.225 --> 00:18:45.947
индивидуальных различий.

00:18:46.267 --> 00:18:50.751
И тогда модель с фиксированным эффектом
представляется более предпочтительной.

00:18:52.890 --> 00:18:54.651
Сделаем ещё одно важное замечание.

00:18:54.811 --> 00:19:00.816
Модель со случайным эффектом предполагает,
что ошибки не коррелированы с рекре- с

00:19:00.896 --> 00:19:07.140
регрессорами, то есть индивидуальный
эффект не срядом с общи с

00:19:07.221 --> 00:19:08.622
объясняющими переменными.

00:19:09.585 --> 00:19:14.341
Это условие выполняется далеко не всегда,
даже для выборок из большой совокупности.

00:19:15.820 --> 00:19:21.534
Так, в приведённом выше примере оценивании
произведённой функции индивидуальный

00:19:21.694 --> 00:19:27.769
эффект, связанный с качеством управления,
коррелирует с произведённым эффектом XGT.

00:19:28.076 --> 00:19:33.233
При прочих равных условиях на предприятии
с более высоким качеством управления

00:19:33.633 --> 00:19:35.752
производственные издержки ниже.

00:19:36.111 --> 00:19:40.509
В некоторых учебниках по панельным данным
именно наличие или отсутствие корреляции

00:19:41.229 --> 00:19:43.827
между индивидуальным эффектом и
регрессорами

00:19:44.517 --> 00:19:49.042
Рассматривается как ключевое различие
между моделями с фиксированным и случайным

00:19:49.162 --> 00:19:56.049
эффектом заметим, что независимо

00:19:56.169 --> 00:20:00.855
от того, коррелированы индивидуальные
эффекты с другими объясняющими переменными

00:20:01.055 --> 00:20:01.375
или нет

00:20:02.225 --> 00:20:07.020
Оценки с фиксированным эффектом являются
несмещёнными и состоятельными.

00:20:07.620 --> 00:20:13.255
Поэтому в любой ситуации модель с
фиксированным эффектом даёт приемлемые

00:20:13.375 --> 00:20:18.450
оценки. Однако при отсутствии корреляции
эти оценки будут неэффективными.

00:20:19.279 --> 00:20:22.999
Что может быть весьма важным при выборках
небольшого объёма.

00:20:23.439 --> 00:20:29.199
В то же время, если в модели присутствует
фиксированный эффект, то оценки с помощью

00:20:29.279 --> 00:20:31.839
случайного эффекта будут несостоятельными.

00:20:32.039 --> 00:20:37.198
Таким образом, качество оценок существенно
зависит от правильной спецификации модели.

00:20:38.517 --> 00:20:42.996
Подробнее о выборе моделей с фиксированным
или случайным эффектом можно прочитать в

00:20:43.076 --> 00:20:49.076
книге. На практике оценивание с помощью
разных моделей часто приводит к

00:20:50.035 --> 00:20:52.515
существенно разным результатам.

00:20:55.275 --> 00:20:56.875
Статистические тесты.

00:20:57.528 --> 00:21:01.208
Помимо содержательных соображений,
существуют статистические тесты,

00:21:01.288 --> 00:21:07.166
позволяющие частично решать проблему
выбора модели с помощью стандартной

00:21:07.326 --> 00:21:09.326
техники проверки гипотез.

00:21:10.845 --> 00:21:15.764
В рассмотренных выше моделях существует
определение определённая иерархия.

00:21:16.654 --> 00:21:20.730
Первое. Обычная модель регрессии есть
частный случай модели с фиксированным

00:21:20.849 --> 00:21:27.322
эффектом, когда исходный последний вариант
равен

00:21:27.362 --> 00:21:29.680
нулю, регрессия равна единице.

00:21:35.065 --> 00:21:39.024
Второй момент: обычная модель регрессии
есть частный случай модели со случайным

00:21:39.144 --> 00:21:43.584
эффектом, когда в последней отсутствуют
ошибки.

00:21:45.424 --> 00:21:49.984
И третье — модель со случайным эффектом,
есть частный случай модели с фиксированным

00:21:50.064 --> 00:21:50.543
эффектом.

00:21:51.653 --> 00:21:53.895
Когда в последней отсутствует компеляция

00:21:58.739 --> 00:22:00.381
Вопросы для самоконтроля.

00:22:00.501 --> 00:22:06.546
Первое. Сформулируйте определение термина
«панельные данные».

00:22:06.786 --> 00:22:07.066
Второе

00:22:07.762 --> 00:22:11.404
Охарактеризуйте переменные модель со
случайными эффектом.

00:22:11.844 --> 00:22:15.646
Третье: охарактеризуйте модель с
фиксированными эффектами.

00:22:15.966 --> 00:22:20.929
И четвёртое: сформулируйте принцип
построения динамической модели.

00:22:26.253 --> 00:22:30.577
Метод максимального правдоподобия в
моделях регрессии.

00:22:35.021 --> 00:22:38.625
Данная глава несколько отличается от
других глав.

00:22:39.946 --> 00:22:42.989
Подробное изложение этого материала можно
найти на примере

00:22:43.909 --> 00:22:46.271
Э-э, в следующих источниках.

00:22:47.433 --> 00:22:52.078
Способы применения этого метода к моделям
парной и множественной регрессии.

00:22:52.679 --> 00:22:59.607
Причина, по которой мы поместили этот
материал, состоит в следующем.

00:23:00.182 --> 00:23:04.538
Первое — метод максимального правдоподобия
является традиционным, трудным для

00:23:04.698 --> 00:23:09.693
студентов разделом курса математической
статистики и эконометрики.

00:23:09.973 --> 00:23:14.609
Его, по нашему мнению, следует повторить в
курсе эконометрики, включающем в себя темы

00:23:14.769 --> 00:23:19.085
временных рядов и дискретных зависимых
переменных, в которых этот метод

00:23:19.205 --> 00:23:20.644
интенсивно используется.

00:23:22.103 --> 00:23:25.945
Второе — удобство читателя, для которого
все необходимые факторы по методу

00:23:26.065 --> 00:23:30.388
максимального правдоподобия собраны в
одном месте книги.

00:23:32.029 --> 00:23:37.192
Итак, принцип максимального правдоподобия
уже используется в наш в данном случае

00:23:38.720 --> 00:23:43.162
Для множественной регрессии с нормальным
распределением вектора ошибок.

00:23:43.562 --> 00:23:47.044
Краткое описание метода также можно найти
в приложениях.

00:23:47.364 --> 00:23:51.086
В данной главе мы дадим более подробное
описание метода максимального

00:23:51.166 --> 00:23:53.647
правдоподобия. Начнём с простого примера.

00:23:54.969 --> 00:24:00.890
Предположим, у нас есть выборка из
Беноменального распределения, где N равно

00:24:00.970 --> 00:24:02.850
десяти, а вероятность неизвестна.

00:24:02.930 --> 00:24:05.690
Выборка состоит из семиниц и трёх нулей.

00:24:05.930 --> 00:24:09.931
Необязательно в этом порядке, вероятность
семи успехов десяти испытаний.

00:24:10.804 --> 00:24:15.884
Тогда Sh от P равно сочетанию семь из 10
умножить на вероятность 7 степени единица

00:24:16.004 --> 00:24:19.803
минус P либо противоположное событие ку в
третьей степени.

00:24:20.203 --> 00:24:26.083
Для того чтобы найти значение вероятности,
максимизирующее 10.1 в формуле

00:24:26.616 --> 00:24:30.456
Мы вычитаем производную логарифма.

00:24:31.736 --> 00:24:34.296
То есть находим частную производную.

00:24:34.576 --> 00:24:39.015
Она равна семь разделить на p - 3
разделить на 1 минус p, либо это

00:24:39.455 --> 00:24:41.295
противоположное событие вероятности.

00:24:41.375 --> 00:24:42.415
Формула 12.

00:24:43.637 --> 00:24:45.317
И приравниваем к нулю.

00:24:46.158 --> 00:24:50.079
Получаем P-штрих равно 0,7.

00:24:50.999 --> 00:24:55.561
Значение параметра p, при котором
вероятность получения такой выборки

00:24:55.681 --> 00:24:59.362
максимальна. Рассмотрим ещё более общий
случай.

00:24:59.792 --> 00:25:05.994
Пусть у нас есть N наблюдений, где X IT
равны 1 или ноль.

00:25:06.114 --> 00:25:11.315
Вероятность получения точности X успеха в
Н ис испытаниях равна сочетанию X N

00:25:11.635 --> 00:25:16.036
умножить на вероятность в степени X минус
P в степени N минус X.

00:25:16.116 --> 00:25:17.077
Формулу вернули.

00:25:18.753 --> 00:25:23.956
Это выражение рассматривается обычно как
фиксация функция X при заданных значениях

00:25:24.076 --> 00:25:27.398
параметры N и P и называется
распределением.

00:25:27.838 --> 00:25:33.521
В отличие от этого, в методе максимального
правдоподобия мы рассматриваем формулу

00:25:33.721 --> 00:25:36.323
10.3 как функцию вероятности при данных

00:25:37.075 --> 00:25:41.675
X и называем функцию правдоподобия.

00:25:45.754 --> 00:25:52.353
Метод максимального правдоподобия является
конструктивным методом в простых случаях,

00:25:52.393 --> 00:25:54.033
подобно приведённому выше.

00:25:58.500 --> 00:26:01.063
Удаётся получить явную формулу для оценки.

00:26:01.183 --> 00:26:05.627
В более сложных случаях получить явную
формулу не удаётся.

00:26:05.707 --> 00:26:10.471
Однако можно определить численное значение
оценки, максимизирующую функцию

00:26:10.551 --> 00:26:15.795
правдоподобия. Но и в этой ситуации можно
многое сказать о статистических оценках.

00:26:16.510 --> 00:26:19.793
...и их свойствах. Математический аппарат.

00:26:22.795 --> 00:26:28.039
Рассмотрим последовательность случайных
величин X.1.2 и так далее, необязательно

00:26:28.239 --> 00:26:30.801
независимых или одинаково распределённых.

00:26:31.161 --> 00:26:31.682
Пусть H

00:26:32.885 --> 00:26:36.243
Совместная плотность распределения
случайных величин игрек.

00:26:36.843 --> 00:26:41.680
Предположим, что вид этой функции известен
за исключением вектора параметров

00:26:41.720 --> 00:26:44.598
«Тето-нулевое», который мы хотим оценить.

00:26:44.758 --> 00:26:49.195
Мы предполагаем, что те-нулевое
принадлежит области те, где множество

00:26:49.355 --> 00:26:53.872
возможных значений параметра принадлежит
конечному эвклидовому пространству.

00:26:54.823 --> 00:27:00.535
Для каждого фиксированного Y вещественная
формула примет вид 10—4

00:27:08.965 --> 00:27:10.443
функция правдоподобия.

00:27:12.457 --> 00:27:16.736
И её логарифм называется логарифмической
функцией правдоподобия.

00:27:17.176 --> 00:27:23.455
Для фиксированного Y любое значение с
чертой будет такое, что

00:27:23.615 --> 00:27:29.653
справедливо равенство 105 и называется
акценты максимального

00:27:29.773 --> 00:27:30.693
правдоподобия.

00:27:33.045 --> 00:27:35.682
Параметр Тулевой в общем случае.

00:27:38.679 --> 00:27:45.233
Нет гарантии, что оценка существует для
всех значений Y.

00:27:45.473 --> 00:27:50.828
То есть, если это верно, то функция
называется оценкой максимального

00:27:50.947 --> 00:27:51.747
правдоподобия.

00:27:52.508 --> 00:27:54.748
неизвестного параметра тета нулевого

00:28:01.390 --> 00:28:06.391
максимум в формуле 105 достигается во
внутренней точке пространства параметр

00:28:07.671 --> 00:28:08.151
Тетта

00:28:11.043 --> 00:28:16.677
Функция L с индексом N отвляются
дифференцируемой функцией, то вектор

00:28:16.837 --> 00:28:23.751
частных производных в этой точке равен
нулю тогда

00:28:24.110 --> 00:28:26.228
является решение векторного уравнения.

00:28:29.447 --> 00:28:33.726
В случае, когда дважды дифференцируемая
функция по

00:28:34.126 --> 00:28:40.365
ТТН определяется как

00:28:41.205 --> 00:28:48.203
формула 10.60 матрица в точке T

00:28:48.883 --> 00:28:49.563
нулевое будет

00:28:50.351 --> 00:28:51.230
Равна формуле

00:28:51.350 --> 00:29:01.339
107,

00:29:01.379 --> 00:29:06.813
что информационная матрица вычислена в
точке истинного значения параметр Тулевое.

00:29:07.640 --> 00:29:12.559
Асинтотическая информационная матрица для
параметров-нулевое определяется как F от

00:29:12.719 --> 00:29:17.838
это нулевое равна пределу при N,
стремящемся к бесконечности единицы на N

00:29:20.197 --> 00:29:22.677
от этое. Формула 10.0.

00:29:22.957 --> 00:29:24.237
Если предел существует

00:29:25.219 --> 00:29:31.346
Если матрица F отлевое положительно
определена, то обратная от неё матрица

00:29:31.786 --> 00:29:38.113
Fтепени от ТТ- нулевое является нижней
границей для асинтетической матрицы

00:29:38.593 --> 00:29:43.718
ковариации любой состоятельной оценки
параметра ТТ-нуллевое.

00:29:46.391 --> 00:29:49.871
Асинптотическое неравенство Rau Крамера.

00:29:54.352 --> 00:29:59.152
При некоторых условиях регулярности
матрица кавариации оценки максимального

00:29:59.272 --> 00:30:03.072
правдоподобия асимптотически приближается
к нижней границе.

00:30:03.542 --> 00:30:07.862
Вследствие этого обратная матрица
называется асинтетической матрицей

00:30:07.942 --> 00:30:10.901
коваляции оценки максимального
правдоподобия.

00:30:11.221 --> 00:30:15.381
Точный смысл последнего утверждения
состоит в том, что при некоторых условиях

00:30:15.501 --> 00:30:18.500
регулярности последовательностей случайных
векторов

00:30:19.721 --> 00:30:21.562
Выполняется по формуле 10.

00:30:23.403 --> 00:30:28.246
То есть сходится по распределению, к
нормальному распределению, случайному

00:30:28.326 --> 00:30:31.367
вектору с нулевым средним и матрицей
ковариации.

00:30:40.015 --> 00:30:45.575
Итак, для того чтобы разобраться в
эконометрическом моделировании, необходимо

00:30:45.855 --> 00:30:49.854
нам изучить элементы математической
статистики.

00:30:53.934 --> 00:30:58.173
Итак, математическая статистика называется
раздел математики, занимающийся

00:30:58.213 --> 00:31:01.293
разработкой методов, получения, описания и
обработки.

00:31:01.750 --> 00:31:06.069
опытных данных с целью выявления и
изучения закономерностей случайных

00:31:06.228 --> 00:31:11.586
массовых явлений для научных и
практических выводов Математическая

00:31:11.666 --> 00:31:16.624
статистика наряду с теорией вероятностей
изучает массовые случайные явления

00:31:17.556 --> 00:31:23.789
Связующим звеном между ними выступает
предельная теорема вероятностей.

00:31:24.229 --> 00:31:28.025
При этом свойства реального процесса
теории вероятностей выводят из

00:31:28.265 --> 00:31:32.660
математической модели, и математическая
статистика определяет свойства модели,

00:31:32.700 --> 00:31:34.379
исходя из данных наблюдений.

00:31:36.000 --> 00:31:40.118
Предметом математической статистики
является изучение случайных величин,

00:31:40.198 --> 00:31:42.836
событий, процессов по результатам
наблюдений.

00:31:43.835 --> 00:31:46.474
Каковы же задачи математической
статистики?

00:31:46.913 --> 00:31:51.550
Сбор, описание, упорядочение
статистического материала, выбор и

00:31:51.670 --> 00:31:55.268
определение вида распределения для
полученных

00:31:56.155 --> 00:32:01.917
В эксперименте набора случайных величин
оценка хотя бы приблизительных параметров

00:32:02.118 --> 00:32:03.318
распределения.

00:32:04.238 --> 00:32:09.520
Проверка правдоподобия выдвигаемой
гипотезы о соответствии статистического

00:32:09.760 --> 00:32:11.841
материала теоретическим выводам.

00:32:15.195 --> 00:32:19.078
Полученные результаты исследования
статистических данных методом

00:32:19.158 --> 00:32:24.322
математической статистики используются для
принятия решения, то есть для научных и

00:32:24.402 --> 00:32:27.084
практических выводов, также в
эконометрике.

00:32:27.644 --> 00:32:31.247
Говорят, что математическая статистика —
это теория принятия решения.

00:32:31.952 --> 00:32:38.310
в условиях неопределённости Итак, при
изучении материала

00:32:39.110 --> 00:32:44.869
эконометрики были высказаны некоторые

00:32:46.989 --> 00:32:47.389
термины

00:32:48.162 --> 00:32:50.561
...и которые нам необходимо изучить.

00:32:51.040 --> 00:32:53.399
Итак, генеральная совокупность и выборка.

00:32:53.479 --> 00:32:58.475
Что же это такое? Пусть требуется изучить
множество однородных объектов относительно

00:32:58.675 --> 00:33:02.632
некоторого количества признака,
характеризующего эти объекты.

00:33:02.992 --> 00:33:07.309
Например, если имеется партия деталей, то
качественным признаком может служить...

00:33:07.783 --> 00:33:12.222
Стандартность детали, а количественно
контролируемый размер детали.

00:33:14.101 --> 00:33:17.419
Лучше всего провести сплошное
обследование, то есть изучить каждый

00:33:17.539 --> 00:33:19.898
объект статистической совокупности.

00:33:20.138 --> 00:33:23.857
На практике сплошные исследования проводят
крайне редко.

00:33:23.937 --> 00:33:27.095
К тому же, если совокупность содержит
большое количество объектов

00:33:28.000 --> 00:33:32.196
Или исследование объекта нарушает его
целостность, проводить сплошное

00:33:32.315 --> 00:33:33.674
исследование бессмысленно.

00:33:33.794 --> 00:33:38.549
В таких случаях из всей совокупности
случайно отбирают ограниченное число

00:33:38.629 --> 00:33:40.228
объектов для изучения.

00:33:42.146 --> 00:33:44.224
Множество всех изучаемых объектов

00:33:44.778 --> 00:33:49.183
...или возможных результатов всех мыслимых
наблюдений некоторые случайной величины,

00:33:49.223 --> 00:33:52.827
которые могут быть получены в данных
условиях, называют генеральной

00:33:52.947 --> 00:33:58.955
совокупностью. Число N конечное или
бесконечное объектов наблюдений в

00:33:58.995 --> 00:34:01.157
совокупности называют её объёмом.

00:34:02.942 --> 00:34:07.536
Множество N малоотобранных объектов
измерений случайной величины или

00:34:07.656 --> 00:34:11.412
генеральной совокупности называют
выборочной совокупностью или просто

00:34:11.652 --> 00:34:14.528
выборкой. Число н — объём выборки.

00:34:15.008 --> 00:34:19.163
Для получения хороших оценок характеристик
генеральной совокупности необходимо.

00:34:19.637 --> 00:34:24.163
Чтобы объекты выборки правильно
представляли изучаемые признаки, то есть

00:34:24.283 --> 00:34:31.090
выборка должна быть репрезентативной,
представительная и основана на

00:34:31.211 --> 00:34:35.335
принципе случайного или
равновероятностного отбора единиц.

00:34:36.073 --> 00:34:41.030
Считается, что выборка репрезентативна,
если все объекты генеральной совокупности

00:34:41.349 --> 00:34:43.188
имеют одинаковую вероятность.

00:34:43.468 --> 00:34:47.025
Попасть в выборку, то есть выбор
проводится случайно.

00:34:47.225 --> 00:34:52.461
Например, для того чтобы оценить будущий
урожай ещё несозревших яблок и исследовать

00:34:52.581 --> 00:34:55.258
их характеристику, массу, качество и
прочее.

00:34:56.070 --> 00:35:00.751
Если вся выборка будет сделана с одного
дерева, то она будет репрезентативной.

00:35:01.271 --> 00:35:05.752
Репрезентативная выборка должна состоять
из случайно отобранных плодов со случайно

00:35:05.832 --> 00:35:06.672
выбранных деревьев.

00:35:10.482 --> 00:35:15.242
Различают следующие виды выборок: простая
или, собственно, случайная выборка, при

00:35:15.402 --> 00:35:19.162
которой из генеральной совокупности
случайным образом извлекают по одному

00:35:19.322 --> 00:35:23.522
объекту. Механическая выборка, когда
элементы отбирают через определённый

00:35:23.602 --> 00:35:25.842
интервал, например, каждая десятая деталь.

00:35:27.660 --> 00:35:34.257
Типическая выборка характеризуется
случайным отбором элементов или из

00:35:34.457 --> 00:35:35.696
типических групп.

00:35:36.335 --> 00:35:40.813
Серийная выборка, в которой случайным
образом отбираются не отдельные элементы,

00:35:40.853 --> 00:35:44.331
а целые группы, в совокупности
подвергаются сплошному наблюдению.

00:35:49.288 --> 00:35:52.125
Используют два способа образования
выборки.

00:35:52.685 --> 00:35:57.081
Повторный отбор с возвращением, когда
случайно отобранный уже обследованный

00:35:57.240 --> 00:36:02.276
объект возвращается в общую совокупность и
теоретически может быть повторно отобран.

00:36:02.635 --> 00:36:06.152
Бесповторный отбор, когда отобранный
элемент не возвращается в общую

00:36:06.232 --> 00:36:06.832
совокупность.

00:36:07.418 --> 00:36:12.740
На практике пользуется сочетанием
вышеуказанных способов и видов отбора.

00:36:15.982 --> 00:36:22.865
Важнейшей задачей выборочного метода
является оценка параметров математическое

00:36:22.985 --> 00:36:24.466
ожидание, дисперсия и так далее.

00:36:24.934 --> 00:36:28.457
Генеральной совокупности, что невозможно
для больших значений Н.

00:36:28.938 --> 00:36:34.263
Оцениваемые характеристики рассчитываются
для выборки и объявляются точечными

00:36:34.343 --> 00:36:36.585
оценками характеристик всей совокупности.

00:36:36.745 --> 00:36:41.349
Чем больше N, стремящимся к N, тем с
большим основанием можно судить о

00:36:41.429 --> 00:36:43.151
свойствах генеральной совокупности.

00:36:43.851 --> 00:36:45.691
Согласно закону больших чисел

00:36:50.370 --> 00:36:52.810
Статистическое распределение выборки.

00:36:53.530 --> 00:36:57.649
Дискретный случай. Пусть для исследования
некоторой случайной величины X из

00:36:57.769 --> 00:37:02.289
генеральной совокупности извлечена
выборка, в которой значение X1 наблюдалось

00:37:02.489 --> 00:37:05.168
M1 раз, X2 раза и так далее.

00:37:05.715 --> 00:37:08.754
Причём M1+ MK равно N.

00:37:08.834 --> 00:37:10.034
Это объём выборки.

00:37:10.354 --> 00:37:13.834
Значит, переменные X1.2 называются
вариантами.

00:37:14.793 --> 00:37:21.713
Число наблюдений M1 MKT называют частотами
или весами отношение

00:37:21.912 --> 00:37:23.632
частот к объёму выборки называют

00:37:24.060 --> 00:37:30.777
Относительными частотами или частотами, то
есть по определению P1 равно M1

00:37:31.057 --> 00:37:35.735
на N и так далее. При этом сумма
вероятностей равна единице.

00:37:38.054 --> 00:37:42.253
Вся совокупность значений случайной
величины X представляет собой первичный

00:37:42.373 --> 00:37:43.772
статистический материал.

00:37:43.953 --> 00:37:48.914
...который необходимо обработать, прежде
всего упорядочить расположение выборочных

00:37:48.994 --> 00:37:51.834
наблюдений по возрастанию называет
ранжированием.

00:37:52.474 --> 00:37:56.955
Упорядоченный перечень вариантов и
соответствующих им частот или в частности

00:37:57.195 --> 00:37:59.995
называют статистическим распределением
выборки...

00:38:00.518 --> 00:38:02.554
...или дискретным вариационным рядом.

00:38:02.793 --> 00:38:05.747
И записывается такое распределение в виде
таблицы.

00:38:06.345 --> 00:38:08.022
Итак, вам представлена таблица.

00:38:16.303 --> 00:38:19.466
Статистическое распределение выборки
является оценкой неизвестного

00:38:19.627 --> 00:38:24.952
распределения в соответствии с теоремой
Бернуля, относительные частот П-Т сводятся

00:38:25.032 --> 00:38:29.517
к соответствующим вероятностям П- и Т при
N, стремящимся к бесконечности.

00:38:29.918 --> 00:38:33.241
Это означает, что при большом объёме
выборки

00:38:33.629 --> 00:38:38.269
Статистическое распределение мало
отличается от его истинного распределения.

00:38:41.629 --> 00:38:45.749
Рассмотрим пример. В супермаркете
проводились наблюдения за числом X

00:38:46.109 --> 00:38:49.509
покупателей, обратившихся в кассу за один
час.

00:38:49.669 --> 00:38:51.508
Наблюдение в течение 30 часов.

00:38:53.278 --> 00:38:56.921
Пятнадцать дней с 9:00 до 10:00 и с 10:00
до 11 часов.

00:38:57.362 --> 00:38:59.204
И дали следующие результаты.

00:38:59.564 --> 00:39:02.727
В данном случае даны значения.

00:39:02.887 --> 00:39:06.531
Число X является дискретной случайной
величиной, а полученные данные

00:39:06.651 --> 00:39:09.854
представляют собой выборку N, равную
тридцати наблюдений.

00:39:09.934 --> 00:39:12.096
То есть в данном случае у нас 30 цифр.

00:39:12.959 --> 00:39:17.323
Требуется составить ряд распределения
частот либо вариационный ряд.

00:39:18.724 --> 00:39:21.847
Итак, решение. Сначала составим
ранжированный ряд.

00:39:21.927 --> 00:39:26.131
То есть все числа мы расставим по порядку,
по возрастанию.

00:39:26.772 --> 00:39:29.815
Получено шесть различных значений
случайной величины.

00:39:30.542 --> 00:39:35.619
Шесть вариантов. Подсчитав частоту
значений каждой варианты, составим таблицу

00:39:35.778 --> 00:39:39.456
1, которая и будет представлять собой
вариационный ряд.

00:39:41.454 --> 00:39:45.212
Итак, число

00:39:45.685 --> 00:39:51.723
Обращение в кассу от 60 до 100, частота
появления данного клиента

00:39:52.763 --> 00:39:59.401
и относительная частота — общее количество
значений 3 к тридцати, 7 к тридцати,

00:39:59.481 --> 00:40:01.120
допустим, 8 к 30 и

00:40:01.734 --> 00:40:02.974
Четыре к тридцати.

00:40:03.454 --> 00:40:06.576
При этом относительная частота у нас равна
единице.

00:40:06.736 --> 00:40:07.977
Таблица 1.

00:40:11.098 --> 00:40:12.899
Непрерывный случай.

00:40:14.260 --> 00:40:19.183
Если признак является непрерывным или
число различных значений выборки велико

00:40:19.733 --> 00:40:23.171
Вычислять частоту каждого из них не имеет
большого смысла.

00:40:23.251 --> 00:40:28.088
В этом случае составляют интервальный
вариационный ряд весь промежуток измерения

00:40:28.288 --> 00:40:33.525
значений выборки от минимального к
максимальному разбивает на частичные

00:40:33.605 --> 00:40:35.684
интервалы, то есть производится
группировка.

00:40:36.365 --> 00:40:40.844
Число интервалов следует брать не очень
большими, чтобы после группировки ряд не

00:40:40.923 --> 00:40:45.802
был громоздким и не очень малым, чтобы не
потерять особенности распределения

00:40:45.961 --> 00:40:50.640
признака. Число интервалов может быть
определено по форме

00:40:52.439 --> 00:40:53.318
стерджеса.

00:40:53.814 --> 00:40:57.575
Это K равно единице + логарифм по
основанию 2 N.

00:40:58.095 --> 00:41:03.216
Логарифм по основанию 2 равно
приблизительно 322 000 умножить на

00:41:03.296 --> 00:41:05.016
десятичный логарифм n.

00:41:05.376 --> 00:41:07.496
Значение K подбирается целым.

00:41:07.936 --> 00:41:12.817
Такой способ определения числа интервалов
1 является лишь рекомендуемым, но

00:41:12.937 --> 00:41:13.737
необязательным.

00:41:16.933 --> 00:41:18.934
Длина интервала находится по формуле.

00:41:19.054 --> 00:41:23.095
Sh равно X максимальное минус X
минимальное разделить на k.

00:41:24.016 --> 00:41:28.777
За начало первого частичного интервала,
как правило, но необязательно выбирается

00:41:29.058 --> 00:41:33.019
точка X нулевое, равная X минимальное
минус H пополам.

00:41:34.422 --> 00:41:39.737
Первую строку таблицы интервального ряда
записывайте частичные промежутки: X

00:41:39.976 --> 00:41:45.851
нулевое X1 от X1 до X2 и так далее,
имеющие одинаковую длинуш.

00:41:45.931 --> 00:41:51.126
При этом весь интервал должен полностью
покрывать все имеющиеся значения признака.

00:41:52.252 --> 00:41:58.693
Во второй строке вписывается количество
наблюдений M и попавших в каждый интервал,

00:41:58.773 --> 00:42:03.173
таким образом статистическое распределение
примет вид в виде таблицы.

00:42:08.613 --> 00:42:09.013
Пример.

00:42:09.661 --> 00:42:15.138
В таблице два приведена выборка
результатов измерения роста 105 студентов

00:42:15.978 --> 00:42:20.735
юношей. В данном случае измерения
проводились с точностью до 1 см.

00:42:21.135 --> 00:42:23.174
Итак, представлена таблица.

00:42:24.653 --> 00:42:27.532
Требуется составить интервальный
вариационный ряд.

00:42:29.919 --> 00:42:34.554
Решение. Рост юноши — случайная
непрерывная величина.

00:42:35.394 --> 00:42:39.710
По формуле 1 найдём количество интервалов
при N, равное 100.

00:42:40.749 --> 00:42:42.787
Итак, K у нас равно восьми.

00:42:47.788 --> 00:42:53.507
Учитывая, что икс минимальное — 152, а икс
максимальное — 196, по формуле 2 находим

00:42:53.587 --> 00:42:58.507
длину частичного интервала H равного
приблизительно 6.

00:42:58.987 --> 00:43:02.147
Примем X нулевое, равное 149.

00:43:02.587 --> 00:43:05.427
Исходные данные разбиваем на 8 интервалов.

00:43:07.970 --> 00:43:09.969
С шагом, равным шести.

00:43:11.808 --> 00:43:16.804
Посчитав число студентов M иT, попавших в
каждый из полученных промежутков, получим

00:43:16.924 --> 00:43:23.719
интервальный вариационный ряд Графическое
изображение статистического ряда.

00:43:24.896 --> 00:43:29.056
Для наглядности статистический ряд можно
изобразить графически в виде полигона

00:43:29.216 --> 00:43:30.976
гистограммы и кумулятора.

00:43:31.496 --> 00:43:35.536
Дискретный вариационный ряд графически
изображается с помощью полигона.

00:43:35.816 --> 00:43:40.257
Полигоном частот называют ломаная линия,
соединяющая точки дискретного ряда.

00:43:40.904 --> 00:43:43.903
X1, X2 и так далее.

00:43:44.343 --> 00:43:51.340
Полигоном относительных частот называется
ломаная линия, соединяющая точки X1, X2

00:43:52.019 --> 00:43:54.378
и так далее. Рисунок один.

00:43:54.578 --> 00:43:56.777
Далее мы на него обратим внимание.

00:43:57.414 --> 00:44:02.695
Варианты X и T откладываются по оси
апцисс, а соответствующие частоты M и по

00:44:02.735 --> 00:44:04.496
оси оординат.

00:44:06.416 --> 00:44:12.137
Заметим, что полигон, построенный по
дискретному вариационному ряду, является

00:44:12.537 --> 00:44:16.258
выборочным аналогом многоугольника
распределения дискретной случайной

00:44:16.338 --> 00:44:16.898
величины.

00:44:17.658 --> 00:44:22.097
В первом приближении полигон указывает на
вид теоретического распределения.

00:44:22.856 --> 00:44:27.575
Интервальный вариационный ряд графически
изображают с помощью гистограммы.

00:44:27.855 --> 00:44:32.054
Гистограммой относительных частот
называется ступенчатая фигура, рисунок

00:44:32.214 --> 00:44:34.493
два, состоящая из прямоугольников.

00:44:35.136 --> 00:44:40.372
Основанием которых являются частичные
интервалы, а высоты равны отношению

00:44:41.930 --> 00:44:48.845
FIT равно P наш неотрицательное значение F
и называют

00:44:48.965 --> 00:44:50.923
плотностью относительно частоты.

00:44:55.673 --> 00:45:00.673
Каждый прямоугольник гистограммы имеет
площадь S иТ, равную Piтому.

00:45:00.833 --> 00:45:03.433
Тогда площадь всей фигуры равна единице.

00:45:03.793 --> 00:45:07.912
Также как и площадь под графиком истинной
дифференциальной функции F от X

00:45:08.272 --> 00:45:11.632
теоретического распределения непрерывной
случайной величины.

00:45:11.792 --> 00:45:16.872
Таким образом, Fite — статистический
аналог дифференциальной функции F от X.

00:45:17.570 --> 00:45:22.370
Гистограмма является статистическим
аналогом кривой.

00:45:22.970 --> 00:45:29.850
Итак, в данном случае в первом приближении
указывает на вид теоретического

00:45:30.010 --> 00:45:32.850
распределения непрерывной случайной
величины.

00:45:33.410 --> 00:45:34.650
И, как говорилось ранее

00:45:35.340 --> 00:45:41.064
На рисунке один показан полигон частот
относительных и гистограмма относительных

00:45:41.184 --> 00:45:47.868
частот. Полигон частот ломаная гистограмма
в виде ступенчатой

00:45:47.908 --> 00:45:48.428
фигуры.

00:45:51.428 --> 00:45:55.703
Если соединить середины верхних оснований
прямоугольников отрезками, то получим

00:45:55.863 --> 00:45:57.701
полигон того же распределения.

00:45:57.981 --> 00:46:01.777
Полигон относительных частот также
указывает на вид теоретического

00:46:01.937 --> 00:46:08.889
распределения. Кумулятор называется кривая
накопленных

00:46:09.009 --> 00:46:09.449
частот.

00:46:09.817 --> 00:46:16.132
который представляет собой ломаную линию,
соединяющую точки X It и накопленное или X

00:46:16.412 --> 00:46:18.251
itae pite накопленное.

00:46:18.370 --> 00:46:24.965
В примере для значения X, равных 179,
имеем накопленная частота равна сумме всех

00:46:25.005 --> 00:46:26.324
предшествующих частот.

00:46:26.484 --> 00:46:27.164
Это 65

00:46:28.135 --> 00:46:33.612
...и соответствующая накопленная
относительная частота — 0,62.

00:46:33.972 --> 00:46:38.409
Весьма возможным является понятие
эмпирической функции распределения.

00:46:41.328 --> 00:46:46.405
Эмпирической функцией распределения
называется функция Fat X, задающая для

00:46:46.525 --> 00:46:49.723
каждого значения X относительную частоту
события.

00:46:50.037 --> 00:46:56.601
Следовательно, по определению F от X равно
M X разделить на N, где M с индексом X —

00:46:56.681 --> 00:47:02.365
число выборочных значений величины X
меньше малого X, а Н — объём выборки.

00:47:02.725 --> 00:47:06.968
Очевидно, что F от X удовлетворяет тем же
условиям, что и истинная функция

00:47:07.048 --> 00:47:07.808
распределения.

00:47:08.479 --> 00:47:12.397
Так как является её статистическим
аналогом.

00:47:13.316 --> 00:47:19.872
Итак, дано значение F от X звёздочек на
интервалах и свойства этой функции:

00:47:20.192 --> 00:47:24.829
неубывающее, неотрицательная, область
значения от нуля до единицы.

00:47:25.231 --> 00:47:30.588
Если X 1 наименьшее вариантное, то F со
звёздочкой от X равно нулю.

00:47:30.828 --> 00:47:36.304
Если X наибольшее вариантно, то функция
равна единице.

00:47:40.097 --> 00:47:45.338
При увеличении числа наблюдений, опытов
относительно частота событий приближается

00:47:45.618 --> 00:47:47.739
к вероятности этого события.

00:47:47.859 --> 00:47:52.021
Таким образом, функция является
статистическим аналогом истинной функции

00:47:52.221 --> 00:47:54.261
распределения случайной величины.

00:47:55.262 --> 00:47:56.982
Имеет место теорема Гливенко.

00:47:57.663 --> 00:48:02.660
Пусть F от X — теоретическая функция
распределения случайной величины X, а F со

00:48:02.740 --> 00:48:04.459
звёздочкой от X — эмпирическая.

00:48:04.539 --> 00:48:10.576
Тогда для любого эпсилума больше нуля
верно, что предел вероятности

00:48:11.535 --> 00:48:13.654
при N стремящейся к бесконечности

00:48:14.298 --> 00:48:19.098
Модули разности эмпирической функции
распределения от теоретической больше

00:48:19.378 --> 00:48:21.578
эпсилуна, равен нулю.

00:48:26.379 --> 00:48:29.699
Для дискретного вариационного ряда
эмпирическая функция распределения

00:48:29.859 --> 00:48:33.139
представляет собой разрывную ступенчатую
функцию.

00:48:33.624 --> 00:48:37.468
По аналогии с функцией распределения
дискретной случайной величины с той лишь

00:48:37.548 --> 00:48:41.633
разницей, что теперь по оси координат
вместо вероятности P располагаются

00:48:41.953 --> 00:48:43.635
относительные частоты.

00:48:44.676 --> 00:48:49.481
Для интервального вариационного ряда имеем
значение накопленных частот на концах

00:48:49.561 --> 00:48:50.122
интервалов.

00:48:51.524 --> 00:48:57.037
Поэтому для графического изображения этой
функции в виде непрерывной линии

00:48:57.197 --> 00:49:02.471
целесообразно её доопределить, соединив
точки графика, соответствующими концами

00:49:02.551 --> 00:49:04.668
интервалов отрезками прямой.

00:49:05.068 --> 00:49:08.144
В результате полученное ломаное совпадает
с кумулятор.

00:49:10.192 --> 00:49:14.477
Итак, кумулятор относительных частот и
эмпирическая функция дискретного

00:49:14.557 --> 00:49:16.238
вариационного ряда.

00:49:19.962 --> 00:49:24.687
Пример три. Построить полигон
относительных частот и эмпирическую

00:49:24.767 --> 00:49:28.090
функцию распределения, используя условие в
результате примера 1.

00:49:28.755 --> 00:49:35.276
Итак, используя данные таблицы 1, для
точки X It построим полигон частот,

00:49:35.396 --> 00:49:38.876
значение функции найдём по формуле 3.

00:49:39.837 --> 00:49:43.357
Итак, в данном случае обратите внимание на
решение

00:49:46.478 --> 00:49:47.558
данной задачи.

00:49:49.264 --> 00:49:52.024
Функция изменяется от нуля до единицы

00:49:58.502 --> 00:50:04.101
и представлены рисунки пять и 6.

00:50:04.181 --> 00:50:07.861
Полигон относительных частот —
эмпирическая функция распределения для

00:50:07.981 --> 00:50:08.820
данной задачи.

00:50:12.754 --> 00:50:16.718
Пример 4. Построить гистограмму,
эмпирическую функцию распределения,

00:50:16.758 --> 00:50:19.000
используя условия и результаты примера 2.

00:50:19.280 --> 00:50:25.725
Решение таблице три доопределим середины
частичных интервалов

00:50:27.967 --> 00:50:30.009
чертой и запишем таблицу 4.

00:50:33.004 --> 00:50:39.479
Так. В данном случае середина интервала —
это средняя

00:50:39.519 --> 00:50:46.114
арифметическая гистограмма

00:50:46.154 --> 00:50:48.352
относительных частот интервального ряда.

00:50:50.807 --> 00:50:56.764
Представляет собой ступенчатую фигуру

00:50:59.683 --> 00:51:06.480
соответствующую из прямоугольников с
основанием длиной H,

00:51:06.480 --> 00:51:07.999
равной шести и высотой

00:51:09.414 --> 00:51:12.698
П и T разделить на Ash.

00:51:15.220 --> 00:51:18.704
Для интервального вариационного ряда
эмпирическая функция распределения

00:51:18.944 --> 00:51:20.546
совпадает с кумулятор.

00:51:20.826 --> 00:51:25.872
Значение функции найдём по формуле 3 и
запишем в виде следующей таблицы.

00:51:28.877 --> 00:51:35.478
Также отметим на плоскости точки,
соответствующей значению значение F со

00:51:35.598 --> 00:51:39.199
звёздочкой и соединим эти отрезки прямыми.

00:51:39.719 --> 00:51:43.759
В результате получим рисунок-гистограмму
относительных частот.

00:51:44.121 --> 00:51:46.679
И эмпирическую функцию распределения.

00:51:52.791 --> 00:51:54.829
Числовые характеристики выборки.

00:52:25.200 --> 00:52:27.441
Средние величины и показатели вариации.

00:52:27.602 --> 00:52:33.967
Для выборки можно определить ряд числовых
характеристик, аналогичных тем, которые в

00:52:34.047 --> 00:52:37.129
теории вероятностей определяются для
случайных величин.

00:52:37.489 --> 00:52:41.252
Пусть имеется выборка объёма N,
представленная в виде таблицы.

00:53:00.384 --> 00:53:04.421
Выборочным средним называется среднее
арифметическое всех значений в выборочной

00:53:04.500 --> 00:53:11.375
совокупности и обозначается X-вариант от X
математическое ожидание и M от

00:53:11.494 --> 00:53:14.052
X — тоже математическое ожидание.

00:53:14.292 --> 00:53:18.648
Выборочное среднее является статистическим
аналогом математического ожидания и

00:53:18.768 --> 00:53:19.767
случайной величины.

00:53:21.051 --> 00:53:27.285
Если все значения X1, X2 и так далее, x
признака выборки объёма N

00:53:27.645 --> 00:53:31.641
различны, то выборочное среднее
определяется по формуле 4.

00:53:37.100 --> 00:53:41.426
Если статистические данные сгруппированы,
то есть каждому значению варианта x1

00:53:41.746 --> 00:53:46.753
соответствует определённая частота M и T,
то формула 4 может принимать вид

00:53:47.394 --> 00:53:48.635
следующий.

00:53:49.236 --> 00:53:50.918
В данном случае это формула 5.

00:53:56.662 --> 00:54:02.261
В случае интервального ряда в качестве X и
Т берётся середины частичных интервалов,

00:54:02.341 --> 00:54:07.420
то есть значение X ita с чертой M и
соответствующей частоте

00:54:10.299 --> 00:54:14.378
выборочной дисперсией называется среднее
арифметическая квадратов отклонений

00:54:14.538 --> 00:54:16.737
варианта от выборочной средней.

00:54:17.155 --> 00:54:19.233
И предложена вам формула 6.

00:54:20.352 --> 00:54:25.389
Если все значения к выборке различны, если
статистические данные сгруппированы, то

00:54:25.429 --> 00:54:28.746
формула 6 принимает вид формулы 7.

00:54:31.424 --> 00:54:34.942
В результате преобразования в седьмой
формуле можно получить другую

00:54:35.582 --> 00:54:37.901
Для вычисления выборочной дисперсии.

00:54:40.060 --> 00:54:46.177
Таким образом мы получаем, что выборочная
дисперсия принимает вид восемь.

00:54:47.337 --> 00:54:51.295
Выборочная дисперсия является
статистическим аналогом дисперсии

00:54:51.415 --> 00:54:52.894
теоретического распределения.

00:54:57.193 --> 00:55:01.155
Выборочное среднее квадратическое
отклонение определяется по формуле.

00:55:01.555 --> 00:55:06.358
Сигма выборочно равна корню квадратному из
выборочной дисперсии.

00:55:06.678 --> 00:55:11.081
Выборочное среднее квадратическое
отклонение является мерилом надёжности

00:55:11.361 --> 00:55:15.563
выборочной средней и измеряется в тех же
величинах, что и изучаемый признак.

00:55:16.335 --> 00:55:20.176
Чем меньше выборочное квадратическое
отклонение, тем лучше выборочное среднее

00:55:20.256 --> 00:55:23.297
отражает собой всю представляемую
совокупность.

00:55:28.858 --> 00:55:33.139
В качестве описательных характеристик
вариационного ряда используются мода,

00:55:33.179 --> 00:55:34.660
медиана, размах и так далее.

00:55:35.354 --> 00:55:40.117
Модой вариационного ряда называется такое
значение варианты, которому соответствует

00:55:40.237 --> 00:55:41.558
наибольшая частота.

00:55:41.838 --> 00:55:46.721
В случае интервального вариационного ряда
мода находится внутри частичного интервала

00:55:46.882 --> 00:55:50.444
L и, которому соответствует наибольшая
частота — M итая.

00:55:51.142 --> 00:55:55.227
На рисунке девять показан наглядный
геометрический способ нахождения

00:55:55.347 --> 00:55:58.030
приближённого значения медианы.

00:56:00.953 --> 00:56:03.876
Истинное значение моды, извините.

00:56:03.956 --> 00:56:08.562
Истинное значение моды вычисляется по
форме линейной интерполяции.

00:56:09.660 --> 00:56:13.144
где ash It длина частичного интервала L
итого

00:56:16.787 --> 00:56:21.952
-1 — частность, соответствующая
предыдущему частичному интервалу L итая

00:56:21.992 --> 00:56:28.078
-1. П-ита +1 — частность, соответствующая
следующему частичному интервалу — L итая

00:56:28.118 --> 00:56:28.919
+1.

00:56:31.693 --> 00:56:35.897
Особенность моды как меры центральной
тенденции заключается в том, что она не

00:56:35.978 --> 00:56:40.783
изменяется при изменении крайних членов
ряда, то есть обладает определённой

00:56:40.863 --> 00:56:42.945
устойчивостью к вариации признака.

00:56:43.426 --> 00:56:48.151
Медианой называется значение признака,
проходящее на середину ранжированного ряда

00:56:48.271 --> 00:56:48.832
наблюдений.

00:56:50.070 --> 00:56:56.030
Если вариационный ряд имеет нечётное число
членов N равно 2 + 1, то медиана

00:56:57.150 --> 00:56:58.910
равна X + 1.

00:56:59.070 --> 00:57:05.110
Если число членов чётное, Н равно 2, то
медиана равно среднему арифметическому.

00:57:06.523 --> 00:57:12.993
В случае интервального ряда медиана
принадлежит тому частичному интервалу Л

00:57:13.193 --> 00:57:18.625
итова, для которого накопленная частота
составляет половину или больше половины

00:57:18.745 --> 00:57:19.943
всей суммы частот.

00:57:20.698 --> 00:57:24.978
А предыдущая накопленная частота меньше
половины всей суммы частот, при этом

00:57:25.098 --> 00:57:29.418
прямая X, равная медиане, делит площадь
гистограммы пополам.

00:57:30.099 --> 00:57:35.459
Медиана может быть приближённо найдена с
помощью кумулятора, как значение признака,

00:57:35.499 --> 00:57:38.579
для которого п- накопительное равно одной
второй.

00:57:41.657 --> 00:57:48.224
На рисунке 10 показан наглядный
геометрический способ нахождения

00:57:48.985 --> 00:57:51.027
приближённого значения медианы.

00:57:51.507 --> 00:57:56.433
Истинное значение медианы интервального
вариационного ряда вычисляется по формуле

00:57:56.793 --> 00:57:58.435
линейной интерполяции.

00:58:00.428 --> 00:58:01.907
Формула 11.

00:58:04.587 --> 00:58:09.226
Достоинство медианы как меры центральной
тенденции заключается в том, что на неё не

00:58:09.345 --> 00:58:13.984
влияет изменение крайних членов
вариационного ряда, если любой из них

00:58:14.264 --> 00:58:19.343
меньше медианы остаётся меньше её, больше
медианы продолжает быть больше её.

00:58:19.946 --> 00:58:23.983
Медиана предпочтительней средней
арифметической для ряда, у которого

00:58:24.143 --> 00:58:29.180
крайние варианты по сравнению с остальными
оказались чрезмерно большими или малыми.

00:58:31.818 --> 00:58:36.734
Для характеристики меры колеблемости
изучаемого признака, относительно

00:58:37.014 --> 00:58:39.812
выборочной средней, используют коэффициент
вариации.

00:58:40.348 --> 00:58:41.706
По формуле 12.

00:58:41.906 --> 00:58:45.941
Коэффициент вариации служит для сравнения
величин рассеяния по отношению к

00:58:46.021 --> 00:58:48.737
выборочной средней двух вариационных
рядов.

00:58:48.977 --> 00:58:53.012
Тот из рядов имеет большее рассеяние по
отношению к выборочной средней, у которого

00:58:53.092 --> 00:58:54.730
коэффициент вариации больше.

00:58:57.027 --> 00:59:01.582
В отличие от среднего квадратичного
отклонения, в данном случае выборочного

00:59:01.822 --> 00:59:06.018
среднего, коэффициент вариации является
безразмерной величиной, поэтому он

00:59:06.177 --> 00:59:10.973
пригоден для сравнения рассеяния
вариационных рядов, варианты которых имеют

00:59:11.053 --> 00:59:12.491
различную размерность, например

00:59:13.041 --> 00:59:17.044
Если варианты одного ряда выражены в
сантиметрах, а другого в граммах.

00:59:17.324 --> 00:59:20.646
Если коэффициент вариации признака,
принимающего только положительное

00:59:20.766 --> 00:59:26.170
значения, высок, например, более 100%, то,
как правило, это говорит о неоднородности

00:59:26.410 --> 00:59:27.972
значений признака.

00:59:29.092 --> 00:59:29.773
Замечание.

00:59:30.551 --> 00:59:34.432
Выше предполагалось, что вариационный ряд
составлен по данным выборки, поэтому все

00:59:34.632 --> 00:59:37.193
описанные характеристики называют
выборочными.

00:59:37.473 --> 00:59:40.874
Если вариационный ряд составлен по данным
генеральной совокупности, то

00:59:40.954 --> 00:59:43.475
характеристики называются генеральными.

00:59:44.195 --> 00:59:49.597
Пример 10. Данные распределения ста
рабочих цехов по выборке.

00:59:49.980 --> 00:59:54.816
В отчётном году в процентах к предыдущему
году представлены в таблице пять.

00:59:55.255 --> 01:00:01.250
Итак, первый столбец — выборка в отчётном
году в процентах к предыдущему, середина

01:00:01.410 --> 01:00:07.444
интервала, как средняя арифметическая, и
количество рабочих, в данном случае 100.

01:00:09.150 --> 01:00:13.273
Найти среднюю выборку по цеху, вычислить
дисперсию, среднее квадратическое

01:00:13.393 --> 01:00:16.796
отклонение, модуль, медиану и коэффициент
вариации.

01:00:17.196 --> 01:00:22.680
Решение. Вычисляем выборочную среднюю
интервального вариационного ряда по

01:00:22.720 --> 01:00:28.004
формуле 5. Выборочная средняя равна 119,2.

01:00:29.765 --> 01:00:35.928
Вычислим выборочную дисперсию по формуле
8, которая будет равна 8—7,48.

01:00:36.208 --> 01:00:40.489
Тогда, согласно формуле 10, среднее
квадратическое отклонение будет

01:00:40.649 --> 01:00:43.531
приблизительно равно 9,35.

01:00:44.011 --> 01:00:49.733
Найдём моду Медиану и коэффициент вариации
по формулам 10, 11 и 12 соответственно.

01:00:50.437 --> 01:00:56.753
Мода будет приблизительно равна 12,82%,
медиана — 119,93

01:00:58.392 --> 01:01:01.030
и коэффициент вариации 7,84

01:01:07.586 --> 01:01:08.785
к следующему пункту.

01:01:09.248 --> 01:01:14.085
Вычисление выборочных средних и дисперсий
при больших или очень малых значениях

01:01:14.165 --> 01:01:19.242
варианта. Для выборочного среднего и
выборочной дисперсии справедливы следующие

01:01:19.322 --> 01:01:24.718
свойства. Если варианты увеличить либо
уменьшить на одно и то же число Ц, то

01:01:24.798 --> 01:01:29.115
выборочное среднее также увеличится или
уменьшится на это число, а выборочная

01:01:29.195 --> 01:01:30.874
дисперсия остаётся неизменной.

01:01:31.956 --> 01:01:35.272
Тогда для U равно X и T + C имеем

01:01:40.107 --> 01:01:46.340
оба варианта будет вычисляться по формуле
выборочная средняя

01:01:47.140 --> 01:01:49.057
и выборочная дисперсия также

01:01:49.928 --> 01:01:52.328
Определено следующим равенством.

01:01:57.249 --> 01:02:01.450
Второе. Если варианты увеличить или
уменьшить ваш раз, то выборочное среднее

01:02:01.610 --> 01:02:06.170
также увеличится или уменьшится в ваш раз,
а выборочная дисперсия увеличится или

01:02:06.290 --> 01:02:07.010
уменьшится ваш

01:02:07.522 --> 01:02:14.204
В квадрате раз и приведено доказательство
данного

01:02:14.404 --> 01:02:21.326
высказывания. Из

01:02:21.406 --> 01:02:24.807
данных свойств вытекает метод упрощённых
вычислений.

01:02:25.477 --> 01:02:30.516
Вводим новые варианты уита, где C и
специально подобранные постоянные.

01:02:30.596 --> 01:02:37.114
Согласно свойствам, получаем систему
равенств эти

01:02:37.433 --> 01:02:41.232
равенства, эту систему номером тринадцать.

01:02:42.331 --> 01:02:47.688
Замечание. Выборочная дисперсия,
вычисленная по сгруппированным данным

01:02:47.888 --> 01:02:52.406
интервального вариационного ряда,
оказывается меньше дисперсии, найденной по

01:02:52.526 --> 01:02:57.283
несгруппированным результатам измерений,
на величину, приблизительно равную S в

01:02:57.323 --> 01:02:58.563
квадрате на 12.

01:02:59.098 --> 01:03:03.299
Это следует учитывать при округлении
значения дисперсии, сохраняя один

01:03:03.739 --> 01:03:08.580
сомнительный знак, значение выборочной
средней округляя при этом до единиц такого

01:03:08.660 --> 01:03:12.420
разряда, который сохранён в значении
выборочной дисперсии.

01:03:13.300 --> 01:03:13.980
Пример шесть.

01:03:14.775 --> 01:03:19.019
Вычислить упрощённым способом среднюю
арифметическую и дисперсию распределения

01:03:19.179 --> 01:03:22.462
рабочих по выборке по данным таблицы пять.

01:03:23.583 --> 01:03:30.309
Решение. Возьмём постоянную A, равную
величине интервала шесть, а постоянную C,

01:03:30.349 --> 01:03:34.112
равную середине одного из двух серединных
интервалов, например, пятого.

01:03:34.755 --> 01:03:36.355
Всё равно 121.

01:03:36.995 --> 01:03:39.194
Новые варианты теперь примет Лид.

01:03:39.354 --> 01:03:42.434
X - 121 разделить на 6.

01:03:42.594 --> 01:03:45.473
Дальнейшие вычисления представим таблице
6.

01:03:45.953 --> 01:03:49.272
Итак, вашему вниманию представлена таблица
6.

01:04:00.494 --> 01:04:06.776
В итоговой строке таблицы 6 имеем сумму
произведения, равную -30 и

01:04:07.056 --> 01:04:08.937
252.

01:04:10.697 --> 01:04:16.019
Тогда выборочное средняя будет равна 2,52
по формулам.

01:04:20.065 --> 01:04:20.904
Также находим

01:04:27.021 --> 01:04:33.297
X-варианту равный 119,2 и дисперсию,
равный 87,48.

01:04:33.497 --> 01:04:38.294
Как видим, найденные значения совпадают с
вычислением, выполненным в примере 5.

01:04:42.823 --> 01:04:44.184
Эмпирические моменты.

01:04:44.664 --> 01:04:48.746
Для вычисления сводных характеристик
выборок используют эмпирические моменты,

01:04:48.866 --> 01:04:51.827
аналогичные соответствующим теоретическим
моментам.

01:04:52.068 --> 01:04:56.790
Выборочная средняя дисперсия вариационного
ряда является частным случаем более общего

01:04:56.910 --> 01:04:58.791
понятия момента вариационного ряда.

01:04:59.822 --> 01:05:02.983
Выборочный начальный момент кадового
порядка определяется по

01:05:03.063 --> 01:05:08.384
формуле.

01:05:08.704 --> 01:05:15.145
В частности В первое выборочное среднее
является выборочным начальным моментом

01:05:15.345 --> 01:05:16.105
первого порядка.

01:05:18.480 --> 01:05:23.119
Выборочный центральный момент катого
порядка находится по формуле 15.

01:05:26.839 --> 01:05:31.398
В частности, выборочная дисперсия является
выборочным центральным моментом первого,

01:05:31.478 --> 01:05:35.798
второго и так далее, третьего порядка и
может быть четвёртого и так далее.

01:05:36.418 --> 01:05:40.259
Среди моментов высших порядков особое
значение имеют центральные моменты

01:05:40.379 --> 01:05:42.740
третьего и четвёртого порядков.

01:05:47.462 --> 01:05:49.142
Асимметрия и экс.

01:05:49.262 --> 01:05:53.223
Нормальное распределение является одним из
наиболее применяемых в математической

01:05:53.343 --> 01:05:57.105
статистике для оценки отклонений
эмпирического распределения.

01:05:57.659 --> 01:06:02.215
От нормального использует коэффициенты
асимметрии и эксцесс, которые служат для

01:06:02.335 --> 01:06:07.330
сравнения полигона теоретических частот в
частности вариационного ряда с функцией

01:06:07.410 --> 01:06:09.488
плотности нормального распределения.

01:06:10.647 --> 01:06:12.685
Выборочным коэффициентом асимметрии

01:06:13.205 --> 01:06:17.967
Скошенности называется величина A с
индексом С со звёздочкой.

01:06:18.367 --> 01:06:24.889
Выборочный коэффициент эксцесса
определяется по формуле: эксцентрисет с

01:06:24.929 --> 01:06:26.409
индексом K со звёздочкой.

01:06:26.489 --> 01:06:27.809
Формула No 17.

01:06:28.290 --> 01:06:32.411
Эксцесс характеризует крутизну подъёма,
кривое распределение по сравнению с

01:06:32.491 --> 01:06:33.331
нормальной кривой.

01:06:34.963 --> 01:06:39.083
Если выборочный коэффициент асимметрии
равен выборочному коэффициенту эксцесса

01:06:39.283 --> 01:06:42.602
для нормального распределения, то они
равны нулю.

01:06:44.042 --> 01:06:49.080
При отклонении от нормального
распределения справедливо следующее.

01:06:51.800 --> 01:06:51.840
Если

01:06:58.430 --> 01:07:01.307
Коэффициент асимметрии меньше нуля.

01:07:01.867 --> 01:07:08.539
Если длинная и более пологая часть кривой
распределения расположена слева от

01:07:08.619 --> 01:07:11.336
соответствующей моде точки на оси абцис.

01:07:11.536 --> 01:07:13.973
Если больше нуля, если левая часть

01:07:15.008 --> 01:07:17.246
Кривой расположена справа от моды.

01:07:18.526 --> 01:07:25.161
Далее. Если коэффициент эксцесса меньше
нуля, кривая имеет более низкую и

01:07:25.321 --> 01:07:30.318
полую вершину и больше нуля, если кривая
более высокую и острую вершину.

01:07:30.398 --> 01:07:32.917
Итак, рисунок 12 и 13.

01:07:38.240 --> 01:07:41.598
Одиннадцать, двенадцать и 13.

01:07:41.718 --> 01:07:43.677
Нормальная кривая показана.

01:07:45.995 --> 01:07:49.353
Следует иметь в виду, что при
использовании указанных характеристик

01:07:49.433 --> 01:07:54.270
сравнения опорным является предположение
об одинаковых величинах математического

01:07:54.430 --> 01:07:59.067
ожидания и дисперсии для нормального и
теоретического распределения.

01:08:01.509 --> 01:08:03.190
Оценка неизвестных параметров.

01:08:03.671 --> 01:08:05.432
Понятие оценки параметров.

01:08:06.032 --> 01:08:10.396
Пусть рассматривается случайная величина X
с законом распределения, содержащим один

01:08:10.636 --> 01:08:11.877
или несколько параметров.

01:08:11.957 --> 01:08:16.920
Например, параметр лямбда в распределении
поазона или параметр A или Sigma для

01:08:17.000 --> 01:08:18.642
нормального закона распределения.

01:08:19.150 --> 01:08:25.474
В результате N наблюдений будет получена
выборка X1.X2 и так далее X N, где X I T —

01:08:25.514 --> 01:08:30.798
это результат измерения в этом опыте,
которую можно рассматривать как случайную

01:08:30.918 --> 01:08:34.561
величину, имеющую закон распределения
случайной величины X.

01:08:35.265 --> 01:08:39.941
Необходимо оценить параметр тетта,
связанный с законом распределения

01:08:40.061 --> 01:08:43.018
случайной величины X в генеральной
совокупности.

01:08:43.697 --> 01:08:47.693
Приближённое значение неизвестного
параметра тетта, назовём его оценкой и

01:08:47.773 --> 01:08:49.691
обозначим тет со звёздочкой.

01:08:50.250 --> 01:08:50.570
Любая

01:08:52.022 --> 01:08:57.947
Оценка вычисляется на основе выборки есть
значения некоторой функции и результатов

01:08:58.107 --> 01:09:03.751
наблюдений. Сама оценка является случайной
величиной, так как зависит от случайных

01:09:03.871 --> 01:09:06.593
величин X1.X2 и так далее XN.

01:09:06.834 --> 01:09:11.517
Если произвести другую выборку, то функция
примет, вообще говоря, другое значение.

01:09:12.430 --> 01:09:17.067
Если число наблюдений опытов сравнительно
невелико, то замена неизвестного

01:09:17.227 --> 01:09:21.344
переменного T с его оценкой, например
математического ожидания выборочным

01:09:21.504 --> 01:09:23.343
средним приводит к ошибке.

01:09:23.543 --> 01:09:27.660
Эта ошибка в среднем тем больше, чем
меньше число опытов.

01:09:29.485 --> 01:09:34.044
Для того чтобы оценка неизвестного
параметра давала хорошее приближение, она

01:09:34.244 --> 01:09:36.484
должна удовлетворять некоторым
требованиям.

01:09:36.564 --> 01:09:41.403
Итак, первое. Желательно, чтобы при
использовании величины тета со звёздочкой,

01:09:41.483 --> 01:09:45.482
то есть оценки вместо неизвестного
параметра тета, мы не делали

01:09:45.642 --> 01:09:49.362
систематических ошибок ни в сторону
завышения, ни в сторону занижения.

01:09:49.864 --> 01:09:51.305
То есть, чтобы выполнялось равенство.

01:09:51.385 --> 01:09:54.027
Математическое ожидание оценки равно
тесту.

01:09:54.668 --> 01:09:59.392
Если математическое ожидание оценки по
всевозможным выборкам данного объёма равно

01:09:59.472 --> 01:10:04.516
истинному значению определённого
параметра, то оценка называется

01:10:04.636 --> 01:10:05.517
несмещённой.

01:10:06.251 --> 01:10:13.163
Если математическое ожидание оценки
стремится к тетте, то оценка

01:10:13.323 --> 01:10:16.239
называется асинтотически несмещённые.

01:10:17.478 --> 01:10:22.392
Требование несмещённости особенно важно
при малом числе наблюдений.

01:10:23.040 --> 01:10:27.163
Второе. Желательно, чтобы с увеличением
числа опытных значений случайной величины

01:10:27.323 --> 01:10:32.046
оценки концентрировалось около T, всё
более тесно, то есть чтобы с ростом р

01:10:32.286 --> 01:10:34.048
точность оценки возрастала.

01:10:35.008 --> 01:10:38.971
Оценка параметра ТеТа называется
состоятельной, если она сходится по

01:10:39.051 --> 01:10:43.294
вероятности к оцениваемому параметру, то
есть равна единице.

01:10:44.275 --> 01:10:50.829
где эксимум сколь угодно малое
положительное число Поскольку мерой

01:10:50.909 --> 01:10:54.506
рассеяния случайной величины вокруг её
математического ожидания является

01:10:54.946 --> 01:10:59.862
дисперсия, то из неравенства Чебысшева для
удовлетворения этого требования

01:11:00.142 --> 01:11:01.540
достаточно, чтобы оценка была

01:11:02.067 --> 01:11:05.592
Не смещённый или предел равен нулю.

01:11:05.832 --> 01:11:10.198
Несостоятельные оценки не имеют
практического смысла, поэтому свойства

01:11:10.718 --> 01:11:14.923
состоятельности обязательны для любого
правила оценивания.

01:11:16.085 --> 01:11:16.565
Третье

01:11:17.113 --> 01:11:21.674
Несмещённая оценкой параметр теста
называется эффективной, если она имеет

01:11:21.754 --> 01:11:26.556
наименьшую дисперсию среди всех возможных
несмещённых оценок, вычисленных по

01:11:26.636 --> 01:11:28.596
выборкам одного и того же объёма.

01:11:28.836 --> 01:11:31.597
Эффективность оценки определяется
равенством.

01:11:32.290 --> 01:11:36.009
где дисперсии соответственно эффективны и
данные оценок.

01:11:36.129 --> 01:11:42.367
Чем ближе эффективность к единице, тем
эффективнее оценка Если эффективная оценка

01:11:42.447 --> 01:11:46.606
стремится к единице при стремящимся к
бесконечности, то оценка называется

01:11:47.046 --> 01:11:48.845
ассимптотически эффективной

01:11:50.790 --> 01:11:55.626
В качестве статистических оценок
параметров желательно использовать оценки,

01:11:55.666 --> 01:12:00.382
удовлетворяющие одновременно требованиям
несмещённости, состоятельности и

01:12:00.502 --> 01:12:05.697
эффективности. Все три свойства определяют
оценку однозначно, но на практике не

01:12:05.777 --> 01:12:07.296
всегда можно выполнение всех

01:12:07.749 --> 01:12:09.229
...перечисленных требований.

01:12:09.429 --> 01:12:13.908
Поэтому приходится использовать оценки, не
обладающие сразу тремя свойствами.

01:12:15.147 --> 01:12:21.266
Метод моментов. Можно полагать, что
наличие начальные и центрального

01:12:21.346 --> 01:12:22.545
эмпирический момент является

01:12:23.504 --> 01:12:27.309
...состоятельными оценками соответствующих
теоретических моментов.

01:12:27.589 --> 01:12:32.035
На этом предположении базируется метод
моментов, который основан на приравнивании

01:12:32.075 --> 01:12:36.681
теоретических моментов рассматриваемого
распределением и соответствующих

01:12:36.761 --> 01:12:38.803
эмпирических моментов того же порядка.

01:12:39.413 --> 01:12:43.814
При этом различают случаи распределения с
одним параметром и с двумя параметрами.

01:12:44.815 --> 01:12:47.695
Итак, первое — оценка одного параметра.

01:12:48.096 --> 01:12:51.297
Пусть задана плотность распределения с
одним параметрам.

01:12:52.097 --> 01:12:56.018
Согласно методу момента, приравниваем,
например, соответствующие начальные

01:12:56.178 --> 01:12:57.298
моменты первого порядка.

01:12:57.874 --> 01:13:01.910
То есть средние выборки и математическое
ожидание распределения.

01:13:02.270 --> 01:13:08.185
Здесь достаточно одного уравнения
относительно параметра — 18.

01:13:09.744 --> 01:13:13.221
Поскольку математическое ожидание является
функцией параметра тета

01:13:14.540 --> 01:13:19.145
То соотношение 18 можно рассматривать как
уравнение с одним неизвестным, которое

01:13:19.265 --> 01:13:23.589
определяет точечную оценку параметров
Teta, являющуюся функцией.

01:13:24.630 --> 01:13:25.832
Пример 7.

01:13:27.513 --> 01:13:33.039
Методом моментов по выборке X1—2 и так
далее XN найти точную оценку неизвестного

01:13:33.239 --> 01:13:34.160
параметра лямбда.

01:13:34.695 --> 01:13:38.379
Показатель на распределение с известной
функцией плотности распределения.

01:13:38.419 --> 01:13:42.303
Итак, задана функция плотности
распределения, равная лямбда умножить на

01:13:42.383 --> 01:13:46.107
эпсилум степени минус лямбда умноженное на
икс.

01:13:46.508 --> 01:13:50.472
Решение формулы 19 при помощи
интегрирования по частям.

01:13:51.155 --> 01:13:54.034
даёт математическое ожидание, равное
единице на лямбда.

01:13:54.074 --> 01:13:59.472
Далее из формулы 18 получаем, что лямбда
определяется равенством.

01:13:59.552 --> 01:14:04.871
То есть искомая точная оценка параметра
лямбда, показательного распределения равна

01:14:05.191 --> 01:14:07.030
обратной выборочной средней

01:14:07.855 --> 01:14:10.456
То есть единицы разделить на выборочную
среднюю.

01:14:11.737 --> 01:14:13.858
Второе — оценка двух параметров.

01:14:14.299 --> 01:14:17.340
Пусть задана функция плотности
распределения F.

01:14:17.460 --> 01:14:21.583
Для нахождения неизвестных параметров
нужно иметь два уравнения.

01:14:21.903 --> 01:14:25.705
Поэтому приравниваем друг к другу,
соответственно, начальные теоретические и

01:14:25.785 --> 01:14:27.907
эмпирические моменты первого-второго
порядка.

01:14:29.472 --> 01:14:34.468
Поскольку математическое ожидание и
дисперсия из функции те и тета 2 в

01:14:34.548 --> 01:14:41.223
соотношении 20 определяется точной оценкой
этих параметров как функции от выборки.

01:14:43.301 --> 01:14:48.058
Пример 8. Найти методом моментов по
выборке

01:14:48.595 --> 01:14:53.155
...точечной оценки неизвестных параметров
математического ожидания и среднего

01:14:53.235 --> 01:14:56.874
квадратического отклонения нормального
распределения с функцией плотности

01:14:57.474 --> 01:14:59.194
распределения вероятностей.

01:14:59.234 --> 01:15:00.794
Заданная эта функция.

01:15:02.074 --> 01:15:05.953
Из курса теории вероятностей известно, что
для нормального распределения...

01:15:06.451 --> 01:15:10.448
Математическое ожидание равно а, а
дисперсия равна среднее квадратическое

01:15:10.568 --> 01:15:11.927
отклонение в квадрате.

01:15:12.127 --> 01:15:16.364
Используя формулу 20, получаем искомые
точные оценки.

01:15:20.081 --> 01:15:22.120
Метод наибольшего правдоподобия.

01:15:23.060 --> 01:15:24.661
Дискретные случайные величины.

01:15:24.781 --> 01:15:29.822
Пусть X — дискретная случайная величина,
которая приняла значение X1.x2 и так далее

01:15:29.902 --> 01:15:35.023
XN. В результате Н- испытаний пусть
известен закон распределения случайной

01:15:35.143 --> 01:15:38.663
величины X, но известен определяющий его
параметр T.

01:15:39.115 --> 01:15:41.994
Требуется найти точечную оценку этого
параметра.

01:15:42.433 --> 01:15:46.632
Обозначим вероятность того, что в
результате испытания X примет значение X

01:15:46.792 --> 01:15:48.031
IT через P.

01:15:48.351 --> 01:15:54.269
Функция аргумента определяется равенством
21, где X1 X2 и так далее XN

01:15:54.663 --> 01:15:58.820
Фиксированные числа и называются функцией
правдоподобия дискретной случайной

01:15:58.939 --> 01:16:05.374
величины X. В качестве точечной оценки
параметры принимается значение, при

01:16:05.534 --> 01:16:08.332
котором функция 21 достигает максимума.

01:16:08.492 --> 01:16:13.048
Такую оценку называют оценка наибольшего
правдоподобия.

01:16:14.653 --> 01:16:21.489
Функцию представленного равенства называют
логарифмической функцией

01:16:21.689 --> 01:16:26.766
правдоподобия. Точка максимума обеих
функций одна и та же, но вместо функции L

01:16:27.086 --> 01:16:30.284
удобно анализировать функции натурального
логарифма от L.

01:16:32.406 --> 01:16:36.249
Методом наибольшего правдоподобия найти
оценку неизвестного параметра

01:16:36.329 --> 01:16:37.971
Пеноменального распределения.

01:16:37.971 --> 01:16:44.777
И задана формула в данном случае вернули.

01:16:44.937 --> 01:16:51.743
То есть N и испытания события A наступило
M1 раз, в N2 испытания M2 раз и так далее.

01:16:53.145 --> 01:16:56.545
Составим функцию правдоподобия по формуле
21.

01:16:57.465 --> 01:17:01.464
Тогда логарифмическая функция
правдоподобия примет следующий вид.

01:17:02.824 --> 01:17:09.343
Затем находим производную по параметру p и

01:17:09.463 --> 01:17:11.063
приравниваем её к нулю, получаем

01:17:14.049 --> 01:17:20.095
Решение этого уравнения относительно
параметра П имеет вид

01:17:22.337 --> 01:17:24.579
два разделить на M1 + N.

01:17:24.899 --> 01:17:29.423
Нетрудно убедиться, что вторая производная
функции натурального логарифма L меньше

01:17:29.503 --> 01:17:30.104
нуля, то есть

01:17:30.760 --> 01:17:34.956
Полученное значение P является точкой
максимума логарифмической функции

01:17:35.115 --> 01:17:39.511
правдоподобия. А значит, эту величину
нужно принять в качестве оценки

01:17:39.671 --> 01:17:44.427
наибольшего правдоподобия неизвестного
параметра беноменального распределения.

01:17:48.995 --> 01:17:50.635
Непрерывные случайные величины.

01:17:50.755 --> 01:17:55.955
Пусть X — непрерывная случайная величина,
которая приняла значение X1.2 и так далее

01:17:56.035 --> 01:17:58.714
X N. В результате n испытаний.

01:17:58.954 --> 01:18:04.154
Пусть известна функция распределения
плотности F от XT, но неизвестен

01:18:04.234 --> 01:18:05.794
определённый её параметр T.

01:18:05.874 --> 01:18:08.513
Требуется найти точную оценку этого
параметра.

01:18:09.431 --> 01:18:16.235
Функцию аргумента Тетта определена
равенством 22, где X1.x2 и так далее, XN —

01:18:16.235 --> 01:18:20.757
фиксированные числа называется функцией
правдоподобия непрерывной случайной

01:18:20.877 --> 01:18:22.118
величины X.

01:18:23.559 --> 01:18:26.040
Метод оценки наибольшего правдоподобия.

01:18:26.413 --> 01:18:30.690
Неизвестного параметра Teta такой же, как
и в предыдущем случае, поиск точки

01:18:30.850 --> 01:18:32.328
максимума функции L.

01:18:32.728 --> 01:18:37.084
Если в известной функции распределения L
неизвестны два параметра, то функция

01:18:37.124 --> 01:18:39.362
правдоподобия примет следующий вид.

01:18:39.802 --> 01:18:43.439
Тогда необходимо найти точку максимума
функции в двух переменных.

01:18:46.005 --> 01:18:50.961
Соответствующие логарифмические функции
наибольшего правдоподобия вводятся так же,

01:18:51.081 --> 01:18:53.759
как и в случае дискретной случайной
величины.

01:18:55.598 --> 01:18:57.636
И предлагается решить пример десять.

01:18:57.796 --> 01:19:02.193
Методом наибольшего правдоподобия найти
оценку неизвестного параметра лямбда.

01:19:02.718 --> 01:19:05.485
показательного распределения из примера
10.

01:19:05.806 --> 01:19:09.095
И предлагается вам решение данного
примера.

01:19:20.285 --> 01:19:22.449
Точечная оценка вероятности событий.

01:19:22.569 --> 01:19:26.816
Пусть произошло N независимых опытов
случайной величины X иTV, индикатор

01:19:27.016 --> 01:19:28.619
события A в этом испытании.

01:19:29.553 --> 01:19:33.512
Икс итое равно единице, если A произошло и
нулю, если A не произошло.

01:19:33.592 --> 01:19:37.351
Тогда событие A произошло, если X равно
сумме X итого.

01:19:37.631 --> 01:19:40.230
N -кс раз, оно не произошло.

01:19:40.310 --> 01:19:45.028
При этом икс является случайной величиной,
имеющей тот же закон распределения, что и

01:19:45.148 --> 01:19:46.787
случайная величина X ita.

01:19:48.403 --> 01:19:53.518
Относительная частота будет равна единице
на N умножить на сумму X IT, как оценку П

01:19:53.718 --> 01:19:55.716
вероятности появления события.

01:19:57.155 --> 01:20:01.911
Так как опыты независимы, то случайная
величина X распределена по номеральному

01:20:01.991 --> 01:20:03.989
закону с параметрами N и P.

01:20:05.582 --> 01:20:10.822
Учитывая, что математическое ожидание
равно N на p, получим равенство, где p —

01:20:10.822 --> 01:20:13.263
не смещённая оценка параметра p.

01:20:13.543 --> 01:20:18.343
По теореме Бернулли имеем, что предел
данной вероятности равен единице.

01:20:19.341 --> 01:20:23.345
Таким образом, эмпирическая функция
распределения является оценкой вероятности

01:20:23.665 --> 01:20:28.630
события. Есть несмещённая оценка
состоятельная функции распределения

01:20:28.790 --> 01:20:30.471
случайной величины X.

01:20:31.593 --> 01:20:34.475
Пример. Монету подбрасывают N.

01:20:34.675 --> 01:20:37.958
Вероятность выпадения герба при каждом
подбрасывании равна p.

01:20:38.498 --> 01:20:42.095
В ходе опыта монета выполнила гербом Mas.

01:20:42.175 --> 01:20:48.768
Показать несмещённость оценки равной M на
N вероятности выпадения герба в каждом

01:20:48.848 --> 01:20:55.722
опыте. И также вам предлагается решение
данного примера.

01:21:01.556 --> 01:21:07.442
Итак, наша третья лекция подошла к концу.

01:21:08.083 --> 01:21:09.404
Спасибо за внимание.

01:21:09.604 --> 01:21:14.849
С вами была Романова Татьяна Николаевна,
доцент кафедры информатики, математики и

01:21:14.969 --> 01:21:17.092
естественно-научных дисциплин.