WEBVTT

00:00:06.760 --> 00:00:09.480
Здравствуйте, с вами Романова Татьяна
Николаевна.

00:00:09.760 --> 00:00:13.879
Начинаем изучать экономико-математическое
моделирование.

00:00:15.959 --> 00:00:16.999
Для этого мы с вами

00:00:25.239 --> 00:00:26.158
рассмотрим, какие

00:00:27.843 --> 00:00:30.203
Темы нам необходимо изучить.

00:00:31.283 --> 00:00:35.563
Первое — это теория линейного
программирования, выпуклые многогранные

00:00:35.723 --> 00:00:40.843
множества, простой симплекс-метод,
основные теоремы, геометрический смысл

00:00:41.003 --> 00:00:46.043
процедуры симплекс-метода, алгоритм
простого Simplex метода, двойственность в

00:00:46.123 --> 00:00:47.443
линейном программировании.

00:00:47.766 --> 00:00:51.930
Двойственные задачи линейного
программирования, теорема равновесия,

00:00:52.251 --> 00:00:56.335
экономическая интерпретация двойственных
переменных, алгоритм двойственного

00:00:56.455 --> 00:01:01.580
симплекса метода, соотношение
двойственности транспортные задачи,

00:01:01.900 --> 00:01:03.222
транспортная модель.

00:01:10.722 --> 00:01:17.566
Далее. Получение начального

00:01:17.646 --> 00:01:22.968
базисного допустимого решения, метод
северо-западного угла и метод потенциала.

00:01:23.249 --> 00:01:26.610
Также будут предложены задачи для
самостоятельного решения.

00:01:28.171 --> 00:01:31.214
Следующая глава, которую мы изучим, — это
теория игр.

00:01:31.414 --> 00:01:37.860
Способы задания игры, игры в нормальной
форме, равновесие Нэше, разбор характерных

00:01:37.980 --> 00:01:42.944
ошибок при решении задач теории игр,
матричные игры, равновесие в чистых

00:01:43.024 --> 00:01:47.549
стратегиях, смешанные стратегии, матричных
играх и задачи для самостоятельного

00:01:47.669 --> 00:01:48.109
решения.

00:01:49.444 --> 00:01:52.844
Далее модельевского типа.

00:01:52.964 --> 00:01:58.685
Модель Леонтьева, определение модели,
равносильные условия продуктивности,

00:01:58.885 --> 00:02:04.045
система ценных уравнений, использование
схемы межотраслевого баланса, анализ

00:02:04.165 --> 00:02:06.165
экономики с помощью модели Леонтьева.

00:02:06.714 --> 00:02:13.480
Модель Неймона, описание модели траектории
цен, стационарные траектории,

00:02:13.520 --> 00:02:15.602
равновесие модели фон Неймона.

00:02:16.202 --> 00:02:18.284
Задачи для самостоятельного решения.

00:02:21.327 --> 00:02:23.049
В четвёртой главе мы изучим

00:02:23.500 --> 00:02:28.660
Неклассические модели микроэкономики,
предпочтения в функции полезности, функции

00:02:28.820 --> 00:02:33.301
спроса, экономика обмена, экономика с
производства, задачи для самостоятельного

00:02:33.461 --> 00:02:39.702
решения. Экономические модели, постановка
задачи, модель множественной линейной

00:02:39.822 --> 00:02:40.382
регрессии.

00:02:41.025 --> 00:02:46.670
Теорема Гауса Маркова: некоторые сведения
из линейной алгебры и теории вероятностей,

00:02:46.870 --> 00:02:51.875
дисперсионный анализ многомерной
регрессии, коэффициент детерминации.

00:02:52.075 --> 00:02:56.279
Проверка гипотез, построение и анализ
экономических моделей, задачи для

00:02:56.399 --> 00:02:57.600
самостоятельного решения.

00:02:58.480 --> 00:03:03.079
Шестая глава: модели финансового
менеджмента.

00:03:03.559 --> 00:03:10.158
Обзор ключевых понятий и положений, модель
оценки доходности финансовых активов.

00:03:11.837 --> 00:03:15.157
Линия рынка капитала, рыночный портфель.

00:03:15.658 --> 00:03:19.537
Линия рынка ценных бумаг,
характеристическая линия акций, модель

00:03:19.657 --> 00:03:26.254
рынка, теория модельяни Миллера, анализ
цены и структуры капитала, первая и вторая

00:03:26.414 --> 00:03:30.692
теореме Модельяни Миллера с учётом
корпоративных налогов.

00:03:31.565 --> 00:03:35.808
Теоремы Мадильяни Миллера с учётом
корпоративных налогов и персональных

00:03:35.968 --> 00:03:42.373
налогов. Связь теоремы теории Мадильяни
Миллера и Сарам.

00:03:43.053 --> 00:03:44.814
Формула Хамады

00:03:52.214 --> 00:03:54.252
...и задачи для самостоятельного решения.

00:03:55.570 --> 00:04:00.685
Далее, метод реальных опционов:
предварительные сведения, тренировский

00:04:01.404 --> 00:04:07.757
процесс, стахастические интегралы, процесс
ITA, формула Ита, примеры использования

00:04:07.917 --> 00:04:08.796
формулы ИТА.

00:04:09.388 --> 00:04:13.745
Цена опциона, формула Shows.

00:04:13.905 --> 00:04:18.382
Приложение, методы реальных опционов,
задачи об инвестициях, задача об

00:04:18.622 --> 00:04:22.779
инвестициях с переменной функцией затрат,
задачи о поглощении.

00:04:23.327 --> 00:04:28.247
Задачи теоретических основ электротехники,
полезные для экономического образования на

00:04:28.367 --> 00:04:31.366
решение страхастических дифференциальных
уравнений.

00:04:31.486 --> 00:04:36.806
И также будут предложены задачи для
самостоятельного решения.

00:04:37.446 --> 00:04:41.685
Макроэкономические модели, традиционные
модели макроэкономики.

00:04:42.052 --> 00:04:45.215
Неоклассическая макроэкономическая модель,
простейшая

00:04:50.139 --> 00:04:54.182
модель, модель из ЛМ.

00:04:55.583 --> 00:05:01.308
Принцип максимума Понтрякина, задача
оптимального управления, применение

00:05:01.548 --> 00:05:02.549
принципа Максимума.

00:05:03.858 --> 00:05:10.742
Подтрягина, модели эндогенного роста
Лукаса Узавы, описание моделей,

00:05:10.903 --> 00:05:17.267
сбалансированные траектории, равновесные
траектории, случаи сигма, равные

00:05:17.387 --> 00:05:22.550
бетта, экономический смысл результатов,
примеры решения задач по макроэкономике и

00:05:22.670 --> 00:05:24.312
задач для самостоятельного решения.

00:05:26.164 --> 00:05:31.448
В главе девятой мы предлагаем изучить
микроэкономические задачи менеджмента,

00:05:31.528 --> 00:05:36.171
задачи динамического программирования,
задачи управления запасами, задачи

00:05:36.332 --> 00:05:41.416
планирования продаж, примеры использования
теории массового обслуживания, основные

00:05:41.576 --> 00:05:44.258
понятия теории массового обслуживания.

00:05:44.766 --> 00:05:50.604
Статистическая модель оборачиваемости,
модель работы торгового предприятия,

00:05:50.684 --> 00:05:55.522
задача о механической мастерской и задачи
для самостоятельного решения.

00:05:55.642 --> 00:05:59.000
Также в конце будет предложен список
рекомендуемой литературы.

00:06:08.766 --> 00:06:14.928
Итак, во всех сферах управления большое
место занимает принятие решений.

00:06:15.208 --> 00:06:20.010
Оптимизационные задачи возникают в связи с
многочисленностью возможностей

00:06:20.290 --> 00:06:22.851
функционирования экономического объекта.

00:06:23.500 --> 00:06:28.419
Когда необходимо выбрать вариант наилучший
с точки зрения некоторого критерия,

00:06:28.619 --> 00:06:31.818
характеризуемого соответствующей целевой
функцией.

00:06:32.218 --> 00:06:35.737
Например, минимум затрат при максимуме
продукции.

00:06:36.336 --> 00:06:41.375
Поэтому современный аппарат математических
методов для решения экономических,

00:06:41.455 --> 00:06:43.654
экономических и управленческих задач

00:06:44.206 --> 00:06:47.769
превратился в самостоятельную научную и
прикладную область.

00:06:48.409 --> 00:06:53.773
В данном случае нам необходимо будет
разобрать задачи, которые можно решать и

00:06:53.973 --> 00:06:57.696
главное анализировать методами линейного
программирования.

00:06:57.816 --> 00:07:00.938
Симплекс-метод и применение теории
двойственности.

00:07:01.648 --> 00:07:07.045
И после оптимизационного анализа к задачам
менеджмента и транспортным задачам.

00:07:07.364 --> 00:07:12.801
Задачи теории игр с разбором характерных
ошибок, задачи анализа экономики с помощью

00:07:12.920 --> 00:07:16.638
модели затраты выпуска Леонтьева и модели
Неймана.

00:07:17.150 --> 00:07:22.469
Неоклассические модели типа дебеля,
экономические модели экономики и

00:07:23.468 --> 00:07:24.708
менеджмента.

00:07:25.228 --> 00:07:29.946
Задачи финансового менеджмента: модель
оценки доходности финансовых активов

00:07:30.186 --> 00:07:32.585
шарпа, её развитие и приложения для

00:07:33.430 --> 00:07:39.431
Целей финансового менеджмента, финансовая
математика и теория Мательни Миллера.

00:07:39.591 --> 00:07:43.511
Задачи по теории стахастических
дифференциальных уравнений и методу

00:07:43.671 --> 00:07:46.791
реальных опционов макроэкономической
модели.

00:07:47.911 --> 00:07:52.031
Задачи по использованию динамического
программирования и теории массового

00:07:52.151 --> 00:07:52.991
обслуживания.

00:07:53.469 --> 00:07:55.431
Микроэкономике и менеджменте.

00:07:55.631 --> 00:08:00.555
Задачи, представленные для самостоятельной
работы, относительно просты, но требуют

00:08:00.635 --> 00:08:02.556
индивидуального подхода к решению.

00:08:02.797 --> 00:08:07.160
Их описание довольно очевидно, они
принципиально мало отличаются от задач,

00:08:07.360 --> 00:08:09.282
разбираемых на аудиторных занятиях.

00:08:09.699 --> 00:08:15.665
В результате изучения материала данного
предмета студент должен знать основные

00:08:15.785 --> 00:08:20.110
понятия из области математики, на основе
которых строятся экономические модели,

00:08:20.350 --> 00:08:25.035
основные модели анализа экономики и
менеджмента, задачи, связанные с анализом

00:08:25.155 --> 00:08:27.597
экономических ситуаций и методы их
решения.

00:08:28.228 --> 00:08:32.669
Уметь проводить анализ экономики с помощью
изучения экономических моделей, решать

00:08:32.789 --> 00:08:36.991
задачи различной степени сложности в
области экономики, выбирать модели,

00:08:37.351 --> 00:08:43.353
необходимые для анализа сложившейся
ситуации, владеть основными навыками

00:08:43.473 --> 00:08:46.113
линейного программирования и анализа
чувствительности.

00:08:46.427 --> 00:08:51.549
Навыками решения задач по теории игр,
навыками применения модели Леонтьева,

00:08:51.710 --> 00:08:57.072
навыками анализа модели неоклассики,
применения регрессивного анализа,

00:08:57.312 --> 00:09:02.834
применения модели финансового менеджмента,
лемо-ита и аппаратом стахастического

00:09:04.115 --> 00:09:05.475
дифференциальных уравнений.

00:09:06.085 --> 00:09:12.681
Вариационными методами, принципом
максимума Пантрякина, методами

00:09:12.801 --> 00:09:16.039
динамического программирования и теорией
массового обслуживания.

00:09:17.435 --> 00:09:21.801
В данном случае, как это часто бывает в
литературе, по экономике математическим

00:09:21.881 --> 00:09:26.407
методам знаки неравенства будут
использоваться для векторов, хотя это и

00:09:26.567 --> 00:09:29.250
противоречит обычным математическим
обозначениям.

00:09:29.571 --> 00:09:32.174
Любая запись неравенства для векторов
будет пониматься

00:09:32.895 --> 00:09:36.412
Компонента. Векторы будут обозначаться
жирными буквами.

00:09:36.612 --> 00:09:42.888
Символ O либо 0 в данном случае будет
обозначать не число, а нулевой вектор.

00:09:43.088 --> 00:09:49.204
При этом запись X дважды больше нуля,
будет означать, что все компоненты вектора

00:09:49.284 --> 00:09:50.363
X положительные.

00:09:50.939 --> 00:09:57.143
Символ E везде обозначает единичную
матрицу, подходящую размерности через R в

00:09:57.183 --> 00:10:01.906
степени N, обозначено и вклидово
пространство размерности Н.

00:10:06.362 --> 00:10:10.565
Через Р обозначается множество всех
неотрицательных вещественных чисел.

00:10:10.725 --> 00:10:14.688
Учебник предназначен для бакалавриата, в
данном случае лекции идут для

00:10:14.808 --> 00:10:19.050
бакалавриата, магистров, аспирантов
экономических специальностей.

00:10:23.733 --> 00:10:27.015
Итак, приступим к главе первой: «Теории
линейного программирования».

00:10:28.833 --> 00:10:32.316
В данном случае студент должен знать
методы решения задач линейного

00:10:32.436 --> 00:10:36.519
программирования, теорию двойственности,
методы решения транспортных задач.

00:10:36.719 --> 00:10:40.922
Уметь выполнять послеоптимизационный
анализ, анализ чувствительности,

00:10:41.042 --> 00:10:45.485
найденного оптимального решения и владеть
основными навыками решения линейных

00:10:45.605 --> 00:10:46.966
оптимизационных задач.

00:10:47.381 --> 00:10:50.342
Навыками анализа найденных решений.

00:10:52.382 --> 00:10:59.064
Выпуклые множества рассмотрим Евклидовое
пространство размерности N.

00:10:59.184 --> 00:11:03.985
Определение: множества точек, обладающие
тем свойством, что вместе с любыми двумя

00:11:04.065 --> 00:11:04.425
точками

00:11:05.104 --> 00:11:10.180
Оно содержит и весь отрезок, соединяющий
эти точки, называется выпуклым множеством.

00:11:10.340 --> 00:11:15.896
Лемма. Пересечение любого конечного числа
выпуклых множеств является выпуклым

00:11:15.936 --> 00:11:16.975
множеством.

00:11:22.331 --> 00:11:23.810
Следующее определение.

00:11:24.223 --> 00:11:30.416
Множество точек X, удовлетворяющих условию
Ax равно B, где A вектор из данного

00:11:30.536 --> 00:11:36.329
множества, а B число называется N минус
первой мерной плоскостью гиперплоскостью.

00:11:36.369 --> 00:11:40.084
При этом A называется направляющим
вектором гиперплоскости.

00:11:40.879 --> 00:11:44.997
Замечание. Таким образом: гиперплоскость —
это эффективное пространство размерности

00:11:45.197 --> 00:11:48.155
на единицу меньше, чем размерность всего
пространства.

00:11:48.275 --> 00:11:53.273
То есть, в данном случае размерности N -1
через Ax обозначено скалярное произведение

00:11:53.473 --> 00:11:55.272
векторов AX.

00:11:56.911 --> 00:11:59.510
Множество всех точек, удовлетворяющих
условию

00:12:00.410 --> 00:12:06.569
А-а вектор AX меньше либо равен B
называется замкнутым полупространством.

00:12:06.769 --> 00:12:10.049
Очевидно, что полупространство является
выпуклым множеством.

00:12:10.529 --> 00:12:14.649
Пересечение конечного числа
полупространств, то есть множества точек,

00:12:14.689 --> 00:12:18.089
удовлетворяющих конечному числу неравенств
1.1.

00:12:18.169 --> 00:12:20.128
Обратите внимание на это неравенство.

00:12:23.337 --> 00:12:29.902
Называется выпуклым многогранником или
выпуклым многогранным множеством.

00:12:30.462 --> 00:12:35.866
Определение точка, которая удовлетворяет
условию 1.1, и, кроме того, обращает в

00:12:35.906 --> 00:12:38.948
равенство, по крайней мере, Н его линейно
независимых

00:12:39.560 --> 00:12:44.638
Неравенств, то есть принадлежащее
выпуклому многогранному множеству 1-один и

00:12:44.838 --> 00:12:50.357
являющееся пересечением энштук энмерных
плоскостей, называется вершиной или

00:12:50.557 --> 00:12:53.276
угловой точкой выпуклого многогранника.

00:12:54.116 --> 00:12:56.635
Примеры выпуклых многогранных множеств.

00:12:57.598 --> 00:13:01.954
Всё пространство, то есть пустое множество
полупространств: полупространство,

00:13:02.074 --> 00:13:05.670
плоскость пересечения двух
полупространств.

00:13:06.230 --> 00:13:07.988
Трёхмерный куб.

00:13:11.105 --> 00:13:12.503
Рассмотрите ограничения.

00:13:12.583 --> 00:13:14.422
Затем посмотрим рисунок 1.1.

00:13:15.436 --> 00:13:22.242
Луч в первом актанте, опять же, при
ограничениях: рисунок

00:13:22.322 --> 00:13:28.287
1.2 сифликс рисунок 1.3.

00:13:31.649 --> 00:13:35.853
Итак, рассмотрим рисунок 1.1, 12 и 1.3.

00:13:45.400 --> 00:13:47.998
Перейдём к теме простой синплекс-метод.

00:13:48.318 --> 00:13:49.997
Основные теоремы.

00:13:50.957 --> 00:13:55.514
Определение. Следующая задача требуется
максимизировать либо минимизировать

00:13:55.794 --> 00:14:02.230
линейную функцию и записана в виде
математических

00:14:02.350 --> 00:14:02.870
символов.

00:14:03.709 --> 00:14:10.588
Заданную на выпуклом множестве, э-э,
многогранном множестве Сигма, называется

00:14:10.748 --> 00:14:15.707
задачей линейного программирования функцию
F, значение которой оптимизируется, будем

00:14:15.907 --> 00:14:17.587
называть целевой функцией.

00:14:17.947 --> 00:14:22.506
Для понимания общей идеи Simplex метода
потребуются следующие основные результаты.

00:14:24.290 --> 00:14:26.210
Итак, теорема Вейерштрасса.

00:14:27.050 --> 00:14:32.730
Всякая непрерывная функция, заданная на
компактном, замкнутом и ограниченном

00:14:32.810 --> 00:14:35.170
множестве, имеет минимум-максимум.

00:14:35.569 --> 00:14:39.409
Доказательство теоремы Вейерштрасса
приводятся в любом стандартном курсе

00:14:39.489 --> 00:14:40.849
математического анализа.

00:14:41.363 --> 00:14:45.604
Доказательство следующих четырёх теорем
оставляем в качестве упражнения.

00:14:45.924 --> 00:14:47.284
Теорема 1.2.

00:14:47.364 --> 00:14:53.725
Если линейная функция F от X, заданная на
выпуклом многогранном множестве

00:14:57.165 --> 00:15:01.926
Сигма имеет в точках X-нулевое локальный
максимум, то она имеет в этой точке и

00:15:02.006 --> 00:15:03.046
глобальный максимум.

00:15:03.649 --> 00:15:06.806
Если сигма не содержит прямых, то имеет
вершины.

00:15:07.125 --> 00:15:11.201
Если вдоль каждого ребра, исходящего из
некоторой вершины X-нулевое, целевая

00:15:11.361 --> 00:15:15.716
функция не возрастает, не убывает, то она
не возрастает, не убывает вдоль каждого

00:15:15.796 --> 00:15:19.752
луча, исходящего из X-нулевого, начало
которого лежит Sigma.

00:15:21.497 --> 00:15:27.097
Теорема следующая: если сигма не содержит
прямых и задача разрешима, то среди точек,

00:15:27.097 --> 00:15:30.258
в которых достигается максимум, есть
вершины.

00:15:35.539 --> 00:15:38.939
Геометрический смысл процедуры Simplex
метода.

00:15:39.823 --> 00:15:46.822
Симплекс-метод — это итерационный процесс,
который начинается в

00:15:46.942 --> 00:15:50.782
одной из вершин и заключается в
последовательном переходе в соседнюю

00:15:50.862 --> 00:15:55.502
вершину вдоль одного из рёбер выпуклого
многогранного множества в поисках

00:15:55.662 --> 00:15:58.502
оптимального значения целевой функции.

00:16:01.119 --> 00:16:05.244
При этом в каждой вершине ненулевые
переменные будем называть базисными, а

00:16:05.324 --> 00:16:07.286
нулевые переменные небазисными.

00:16:07.527 --> 00:16:11.892
Начальную вершину будем называть опорным
планом, а вершину, в которой достигается

00:16:12.012 --> 00:16:14.775
оптимум целевой функции — оптимальным
планом.

00:16:15.776 --> 00:16:16.978
Любой набор значений

00:16:17.838 --> 00:16:22.476
переменных, удовлетворяющих ограничениям
задачи линейного программирования, но,

00:16:22.596 --> 00:16:28.195
быть может, не доставляющей оптимума, а
лишь лежащий в области допустимых значений

00:16:28.555 --> 00:16:30.594
или допустимых планов.

00:16:30.874 --> 00:16:35.592
Называется допустимым решением или
допустимым планом задачи линейного

00:16:35.752 --> 00:16:36.432
программирования.

00:16:37.181 --> 00:16:41.217
Геометрический смысл процедуры симплекс
метода рассмотрим на примере решения

00:16:41.377 --> 00:16:43.775
задачи линейного программирования.

00:16:43.975 --> 00:16:48.371
Другими словами, мы просто будем решать
поставленную задачу, параллельно выполняя

00:16:48.451 --> 00:16:52.607
три вещи. Первое — просто решаем
оптимизационную задачу с помощью

00:16:52.687 --> 00:16:55.484
алгебраических преобразований системы
уравнений.

00:17:00.452 --> 00:17:04.689
Второе, смотрим, чему наши действия
соответствует геометрически, то есть от

00:17:04.848 --> 00:17:09.086
какой вершины в нашем выпуклом
многограннике, по какому ребру мы

00:17:09.205 --> 00:17:10.684
переходим к другой вершине.

00:17:11.004 --> 00:17:16.081
Третье, наблюдаем, каким формальным
преобразованиям синфикс таблицы с помощью

00:17:16.201 --> 00:17:21.037
исключения Гауса-жардана соответствуют
наши преобразования системы уравнений

00:17:21.197 --> 00:17:21.837
вручную.

00:17:23.165 --> 00:17:27.400
Один раз нужно всё это подробно проделать,
чтобы в течение всей оставшейся жизни уже

00:17:27.640 --> 00:17:31.715
не задумываясь механически решать линейные
задачи с помощью преобразований

00:17:31.835 --> 00:17:35.631
симплекс-таблиц. Итак, рассмотрим
следующую задачу: требуется

00:17:36.510 --> 00:17:38.667
максимизировать значение функции.

00:17:39.213 --> 00:17:44.730
Итак, в нашем случае целевая функция равна
6 X1 + 2 X 2 и будет стремиться к

00:17:44.770 --> 00:17:51.765
максимуму заданы на выпуклом многогранном
множестве, при этом даны дана система

00:17:51.885 --> 00:17:54.563
ограничений: X первое меньше либо равно
девяти.

00:17:55.789 --> 00:18:02.433
Второе ограничение: 0,5 X-1 + 0,5 X2
меньше либо равно 11.

00:18:02.914 --> 00:18:09.799
Третье: 0,2 +2 меньше либо равно 13; и
обязательное

00:18:09.839 --> 00:18:12.681
условие: X1 X2 у нас больше либо равны
нулю.

00:18:14.972 --> 00:18:16.373
Итак, переходим к решению.

00:18:16.453 --> 00:18:20.738
Преобразуем неравенство в равенство, вводя
новую фиктивную переменную.

00:18:20.818 --> 00:18:25.463
Для каждого неравенства, за исключением
тех, которые являются просто ограничением

00:18:25.863 --> 00:18:27.104
на знак переменной.

00:18:27.304 --> 00:18:31.108
Введём также новую переменную Z для
значения целевой функции.

00:18:31.655 --> 00:18:35.853
Итак, Z равно F от X равно 61 + 2x2.

00:18:37.212 --> 00:18:42.330
Итак, первоначально вы перепишете систему
ограничений, даю вам несколько минут.

00:19:18.776 --> 00:19:22.981
Итак, в результате у нас получилась
следующая система уравнений неравенств.

00:19:26.145 --> 00:19:30.710
Целевую функцию мы все коэффициенты
переносим с противоположным знаком,

00:19:30.750 --> 00:19:32.272
приравниваем к нулю.

00:19:32.993 --> 00:19:35.075
Вводим дополнительные переменные.

00:19:35.870 --> 00:19:37.869
X3, X4, X5.

00:19:37.989 --> 00:19:40.467
До этого у нас знак стоял меньше либо
равно.

00:19:40.627 --> 00:19:43.985
В данном случае мы поставим уже знак
равенства.

00:19:44.704 --> 00:19:50.980
При этом вводим обозначение, что X1.2.3 X4
X5, где X

00:19:51.100 --> 00:19:54.977
34.5 — дополнительные переменные у нас
больше либо равны нулю.

00:19:57.065 --> 00:20:00.747
Тем самым сделать переход из двухмерного
пространства исходной задачи в

00:20:00.827 --> 00:20:05.868
пространство пяти измерений, проекция
которой на плоскость X1.X2 показана на

00:20:05.948 --> 00:20:07.029
рисунке 1.4

00:20:12.910 --> 00:20:16.392
В данном случае обозначено множество
решений данной задачи.

00:20:17.558 --> 00:20:21.036
Вектор C имеет координаты 62.

00:20:21.315 --> 00:20:26.832
Это взяты координаты при переменных X1 X2
из целевой функции.

00:20:33.428 --> 00:20:37.705
В качестве опорного плана возьмём точку X1
X2 равную нулю.

00:20:38.145 --> 00:20:43.792
Соответственно, X3 будет равно 9: X4 11;
X5 13.

00:20:43.992 --> 00:20:49.438
Таким образом, базисными переменными
опорного плана являются X3 X4.5, а его

00:20:49.558 --> 00:20:52.160
небазисными переменными X1.X 2.

00:20:52.401 --> 00:20:54.883
И мы находимся в вершине A.

00:20:56.151 --> 00:20:58.313
В данном случае вершине A.

00:21:02.398 --> 00:21:05.281
Переменную Z также всегда будем считать
базисной.

00:21:05.361 --> 00:21:10.607
Рассматриваемую ситуацию удобно изображать
в виде следующей таблицы Simplex метода,

00:21:10.767 --> 00:21:12.889
который называется Simplex таблицей.

00:21:13.307 --> 00:21:19.668
Итак, я предлагаю вам перечертить таблицу
1.1, в которой при X1 и X2 введены

00:21:19.868 --> 00:21:24.190
значения, которые даны у нас в данном
случае в системе ограничений.

00:21:24.310 --> 00:21:27.030
Обратите внимание ещё раз на ограничения.

00:21:42.686 --> 00:21:47.806
Ещё раз повторюсь, необходимо вам
перечертить таблицу 1.1 для того, чтобы в

00:21:47.846 --> 00:21:51.527
дальнейшем нам проще было решать данную
задачу.

00:25:13.190 --> 00:25:14.831
Продолжаем. Продолжаем.

00:25:14.871 --> 00:25:18.673
Уравнение, которому соответствует
последняя строка симплекс таблицы.

00:25:19.294 --> 00:25:21.776
В данном случае имеется в виду Z-строка.

00:25:22.096 --> 00:25:26.379
То есть уравнение для целевой функции,
значение которого мы обозначаем через Z,

00:25:26.620 --> 00:25:29.782
будем для краткости называть просто
Z-уравнение.

00:25:31.904 --> 00:25:35.987
В данном случае будем двигаться вдоль
такого ребра множества.

00:25:36.455 --> 00:25:39.615
вдоль которого целевая функция быстрее
всего возрастает.

00:25:39.775 --> 00:25:45.255
Это направление соответствует увеличению
переменной X1 при сохранении равенства

00:25:46.134 --> 00:25:53.054
нулю всех остальных небазисных переменных,
поэтому при переменной X1 Zrke таблицы 1.1

00:25:53.454 --> 00:25:56.654
стоит наибольшее по модулю отрицательное
число -6

00:25:57.927 --> 00:26:02.808
Такой столбец в данном, э-э, в дальнейшем
будем называть разрешающим.

00:26:04.729 --> 00:26:08.650
Как долго можно двигаться в направлении
увеличения X-1?

00:26:08.730 --> 00:26:13.492
С одной стороны, чем лше, тем лучше, но с
другой стороны, нельзя выходить за пределы

00:26:13.652 --> 00:26:14.652
данной области.

00:26:15.061 --> 00:26:20.105
Значит, множество дви можно двигаться
вдоль выбранного ребра до первого

00:26:20.185 --> 00:26:25.750
пересечения с одной из гиперкостей
ограничивающей данную область.

00:26:26.070 --> 00:26:31.395
Очевидно, что это предельное значение X-1
равно наименьшему из положительных

00:26:31.515 --> 00:26:31.995
значений.

00:26:34.720 --> 00:26:39.044
Состоящих в столбце значений базисных
переменных симплекс таблицы к числам,

00:26:39.124 --> 00:26:43.448
стоящим в соответствующих строках
разрешающего столбца.

00:26:43.488 --> 00:26:48.773
В данном случае этот минимум, равный
девяти, достигается в столбце 1.1

00:26:49.294 --> 00:26:52.977
соответствующей переменной X—3, такую
строку в дальнейшем будут называть

00:26:53.137 --> 00:26:54.658
разрешающей строкой.

00:26:56.915 --> 00:26:59.117
Вот в данном случае девять показали, да, у
нас

00:27:04.481 --> 00:27:10.846
получается один разделить девять разделить
на один девять, одиннадцать на одну

00:27:10.967 --> 00:27:13.248
вторую, 22, 13 на 0.

00:27:14.011 --> 00:27:18.927
Две десятых и так далее, на отрицательные
значения и на ноль неделим.

00:27:22.683 --> 00:27:26.839
Как долго можно двигаться в направлении
увеличения X-1 мы с вами разобрали.

00:27:27.364 --> 00:27:32.567
Таким образом, на первой ирации Symplex
метода происходило движение по ребру AB

00:27:32.727 --> 00:27:36.049
множества и перешли из вершины A в вершину
B.

00:27:36.210 --> 00:27:41.053
При этом ограничение X1 больше либо равно
нулю, перестало быть активным, а

00:27:41.173 --> 00:27:44.575
ограничение X1 меньше либо равно девяти,
стало активным.

00:27:44.998 --> 00:27:49.318
Значение переменной X1 увеличилось от нуля
до девяти, значение всех базисных

00:27:49.438 --> 00:27:51.198
переменных изменилось.

00:27:51.518 --> 00:27:54.358
Опять же, посмотрим на рисунке, да.

00:27:55.758 --> 00:28:02.078
Ну, в данном случае мы двигаемся к точке
C, либо можно было вот так пойти.

00:28:02.358 --> 00:28:05.078
В данном случае тут как бы меньше ходов.

00:28:06.267 --> 00:28:09.984
Либо раз-два кода, либо от точки A к точке
C.

00:28:10.143 --> 00:28:14.819
Раз, два, три. По замкнутой области мы с
вами двигаемся.

00:28:17.377 --> 00:28:23.451
Переход из вершины A в B означает
выведение переменной X-3 из базиса и

00:28:23.531 --> 00:28:25.049
введение X-1 в базис.

00:28:25.089 --> 00:28:26.208
Для того чтобы построить

00:28:28.239 --> 00:28:31.599
Строим, чему наше действия соответствует
геометрически?

00:28:31.719 --> 00:28:35.561
То есть от какой вершины в нашем выпуклом
многограннике, по какому ребру мы

00:28:35.641 --> 00:28:37.361
переходим к другой вершине.

00:28:37.761 --> 00:28:42.162
Наблюдаем, каким формальным
преобразованиям симплекс таблицы с помощью

00:28:42.282 --> 00:28:45.763
исключения гауса-жардана соответствует
наше преобразование.

00:28:46.183 --> 00:28:47.982
Системы уравнений вручную.

00:28:48.342 --> 00:28:53.340
Один раз нужно всё это подробно проделать,
чтобы в течение всей в дальнейшем мы могли

00:28:53.540 --> 00:28:57.418
решать задачи с помощью преобразования
синтакс-таблиц.

00:28:57.698 --> 00:29:00.776
Итак, рассмотрим задачу.

00:29:04.952 --> 00:29:07.514
Что-то я ошиблась немножко.

00:29:09.995 --> 00:29:16.959
Так. В данном случае, как было сказано

00:29:17.079 --> 00:29:22.723
ранее, для того чтобы построить
симплекс-таблицу вершине Б иметь

00:29:22.843 --> 00:29:24.364
возможность двигаться дальше, нужно

00:29:25.698 --> 00:29:28.501
Выразить новые базисные переменные X1.4.

00:29:28.541 --> 00:29:32.546
X5 через новые небазисные X2.3 в вершине
Б.

00:29:32.666 --> 00:29:39.633
Для этого переменные X1 выражаются через
X3 с использованием строки X3 таблицы 1.1.

00:29:39.834 --> 00:29:43.037
То есть X-1 в данном случае у нас равно 9
- X3.

00:29:43.455 --> 00:29:48.657
И данное выражение представляется
подставляется в уравнение для строк 4 x5 Z

00:29:48.897 --> 00:29:53.019
таблицы 1.1. В результате получается
следующие уравнения.

00:29:54.980 --> 00:30:01.344
Прошу их переписать ещё раз: вместо X1 мы
подставляем 9 -x 3 в каждое

00:30:01.624 --> 00:30:02.224
равенство.

00:30:07.738 --> 00:30:09.750
Опять же даю несколько минут.

00:32:38.140 --> 00:32:41.976
Продолжаем. Полученные выражения X1x2.

00:32:45.292 --> 00:32:51.525
Полученные выражения X1x2.5 X2.3, на
основании которых можно построить

00:32:51.804 --> 00:32:53.522
Simplix таблицу 12.

00:32:53.986 --> 00:33:00.970
соответствующую вершине Бишите таблицу

00:33:01.129 --> 00:33:01.848
1,2.

00:36:04.543 --> 00:36:08.864
Точно так, как и на первой итерации,
определяется разрешающий столбец в данном

00:36:08.944 --> 00:36:13.906
случае X2, так как есть тут отрицательный
элемент, и разрешающая строка —

00:36:14.266 --> 00:36:15.987
X4.

00:36:18.388 --> 00:36:20.308
Так как есть минимальное отношение.

00:36:21.131 --> 00:36:25.851
То есть движение проходит по ребру BC из
вершины B в вершину C.

00:36:26.091 --> 00:36:30.091
При этом значение переменной X2 меняется
от нуля до 13.

00:36:30.451 --> 00:36:35.090
И X2 вводится в базис, а переменная X4
выводится из базиса.

00:36:35.210 --> 00:36:35.450
Для этого

00:36:36.342 --> 00:36:39.382
Чтобы выразить новые базисные переменные
X1.2.

00:36:39.462 --> 00:36:46.384
X5, Z через небазисные X3.4, нужно
выразить сначала X2 через X3.4, используя

00:36:46.464 --> 00:36:48.665
строку X4 таблицы 1.2

00:36:54.386 --> 00:36:56.027
что у нас в результате получается?

00:36:56.545 --> 00:37:03.541
0,5 X2 - 0,5 X3 + X4 равно 6,5; X2, 13 +

00:37:03.661 --> 00:37:05.620
X3 - 2 X4.

00:37:05.820 --> 00:37:12.256
И подставить это выражение в данном случае
мы выразили X2.

00:37:13.140 --> 00:37:16.824
Подставили в уравнение для строки X5 и X.

00:37:20.989 --> 00:37:27.437
В данном случае мы подставили и для
второго равенства и для предпоследнего.

00:37:29.373 --> 00:37:33.175
Так как в полученном Z-уравнении все
коэффициенты при базисных переменных

00:37:33.375 --> 00:37:37.857
неотрицательны, очевидно, невозможно
увеличить значение переменной.

00:37:40.498 --> 00:37:45.940
Зет, двигаясь из точки C по какому бы то
ни было ребру, тогда по теореме 1.4 в

00:37:46.020 --> 00:37:50.622
точке C достигается локальный локальный
максимум, следовательно, по теореме

00:37:51.391 --> 00:37:57.067
Один, два — этот максимум является
глобальным максимумом функции F на данном

00:37:57.507 --> 00:38:02.624
множестве. Оптимальное решение
рассматриваемой задачи, э-э, получается,

00:38:02.863 --> 00:38:06.621
что X1 равен 9, X2 13 и Z80.

00:38:07.281 --> 00:38:10.243
Если внимательно посмотреть на
преобразования уравнений, которые

00:38:10.524 --> 00:38:14.567
производились при переходе от одной
вершины к другой, то легко заметить, что

00:38:14.647 --> 00:38:18.890
мы просто исключали из системы уравнений
одну из переменных, выражая её через

00:38:19.091 --> 00:38:23.214
другие переменные с помощью одного из
уравнений системы и подставляя это

00:38:23.374 --> 00:38:25.656
выражение во все остальные уравнения
системы.

00:38:26.299 --> 00:38:30.740
Этот процесс называется исключением
гауса-жардана или преобразованиями

00:38:31.060 --> 00:38:36.541
гауса-жардана и используется также при
решении систем алгебраических уравнений.

00:38:36.621 --> 00:38:41.142
Таким образом, процедура синфлекс-метода
состоит в последовательном выполнении

00:38:41.302 --> 00:38:42.902
исключении гауса-жардана.

00:38:43.400 --> 00:38:49.711
Эту процедуру мы теперь опишем формально в
следующем параграфе: Алгоритм простого

00:38:49.831 --> 00:38:54.304
симплекс-метода. Пусть математическая
модель задачи выглядит следующим образом:

00:38:54.464 --> 00:38:55.583
определить вектор X

00:38:56.248 --> 00:39:01.847
который удовлетворяет следующим
ограничениям: сумма жи от единицы до N, а

00:39:01.967 --> 00:39:07.286
I сжитое xжитое меньше либо равно Б итому,
где от единицы до N, икс сжитое больше

00:39:07.566 --> 00:39:10.165
либо равно нулю; жи от единицы до N.

00:39:10.285 --> 00:39:15.525
И обеспечить максимум целевой функции: F
большое от X равно сумме Цитое умножить на

00:39:15.604 --> 00:39:17.884
X-житое. Цжитое на xiтое.

00:39:18.392 --> 00:39:24.066
Где A коэффициенты А Б и больше нуля.

00:39:24.306 --> 00:39:28.341
В составлении первого опорного плана
перейдём от системы неравенств, системе

00:39:28.381 --> 00:39:33.375
уравнений, введём дополнительные
переменные и поставим знак равенства.

00:39:34.373 --> 00:39:39.093
На первом шаге дополнительные переменные
будут играть роль базисных переменных, а

00:39:39.293 --> 00:39:43.054
переменные X1.x2 и так далее XN — роль
небазисных.

00:39:43.374 --> 00:39:48.174
Принимая, что X1 X2 и так далее XN равны
нулю, определим значение базисных

00:39:48.334 --> 00:39:50.095
переменных. И таким образом

00:39:50.596 --> 00:39:53.235
Получим первое допустимое решение.

00:39:54.115 --> 00:40:00.712
Вектор X равен нулю B1, B2, BM и значение
целевой функции

00:40:00.912 --> 00:40:03.671
равно нулю. Строится симплекс-таблица.

00:40:03.751 --> 00:40:08.190
Последняя строка называется Z-строкой и
содержит коэффициенты целевой функции,

00:40:08.230 --> 00:40:09.589
взятые с обратным знаком.

00:40:10.587 --> 00:40:12.108
Проверка плана оптимальности.

00:40:12.148 --> 00:40:16.913
Если все коэффициенты Z-строки Sympex
таблицы не отрицательны, то опорный план

00:40:16.993 --> 00:40:18.875
является и оптимальным планом.

00:40:19.156 --> 00:40:23.681
Если же хотя бы один из коэффициент
Z-строки отрицателен, то план нужно

00:40:24.081 --> 00:40:24.642
улучшить.

00:40:26.162 --> 00:40:30.606
Определение ведущих или разрешающих
столбца и строки среди отрицательных

00:40:30.726 --> 00:40:34.730
коэффициентов строки выбирается наибольший
по модулю.

00:40:35.170 --> 00:40:37.452
Его столбец и будет разрешающим.

00:40:37.692 --> 00:40:40.855
Пусть это будет столбец X 1.

00:40:42.817 --> 00:40:47.220
Выбрано ребро, при движении по которому
целевая функция быстрее всего возрастает.

00:40:48.302 --> 00:40:53.499
Пересечение N ограничений типа равенства и
ещё Но ограничение вида X жи равного нулю,

00:40:53.539 --> 00:40:57.097
определяет точку N+ мерного пространства.

00:40:57.656 --> 00:41:02.613
Когда меняется значение одной из N
небазисных переменных, то получается уже

00:41:03.173 --> 00:41:05.412
N+ -1 ограничение.

00:41:05.964 --> 00:41:11.479
При движении по выбранному ребру меняется
компонент Xжитого 1, соответствующий

00:41:11.559 --> 00:41:13.037
разрешающему столбцу.

00:41:13.437 --> 00:41:19.472
Остальные компоненты, кроме X.1, не
принадлежащие базису, не меняются, а

00:41:19.631 --> 00:41:22.669
компоненты, которые принадлежат базису,
меняются.

00:41:23.250 --> 00:41:27.533
Как узнать, какая из базисных переменных
первой и обратится в ноль?

00:41:29.174 --> 00:41:36.138
Элементы столбца свободных членов симплекс
таблицы делим на элементы с тем же знаком

00:41:36.339 --> 00:41:39.100
ведущего столбца на плюс либо на минус.

00:41:39.714 --> 00:41:43.190
Строка, соответствующая наименьшему
значению положительных значений, является

00:41:43.550 --> 00:41:45.907
ведущей или разрешающей строкой.

00:41:46.307 --> 00:41:48.744
Пусть это будет строка X.

00:41:48.984 --> 00:41:55.457
Таким образом, переменная X,1 вводится в
базис, а переменная XI выводится из него.

00:41:56.325 --> 00:42:01.526
Элемент симплекс таблицы, стоящий на
пересечении разрешающего столбца и

00:42:01.606 --> 00:42:06.606
разрешающей строки, называется разрешающим
или ведущим элементом.

00:42:08.086 --> 00:42:12.567
Четвёртое. Построение нового опорного
плана делается э-э-э

00:42:14.061 --> 00:42:15.980
Исключение Гауса-жардана.

00:42:16.380 --> 00:42:19.778
Нетрудно убедиться, что оно выполняется
следующим образом.

00:42:20.218 --> 00:42:25.096
Все элементы, ведущие либо разрешающие
строки строки старой симплекс-таблицы

00:42:25.576 --> 00:42:29.894
делятся на разрешающий элемент, результаты
заносятся в новую симплекс-таблицу.

00:42:30.565 --> 00:42:35.208
На месте разрешающего элемента новой
симплекс таблицы будет стоять единица, а

00:42:35.448 --> 00:42:39.450
все остальные элементы разрешающего
столбца новой симплекс таблицы заменяются

00:42:39.650 --> 00:42:44.493
нулями. В том числе и клетка разрешающего
столбца в Z-строке.

00:42:44.773 --> 00:42:49.216
Остальные клетки новой симплекс таблицы
заполняются по правилам прямоугольника.

00:42:53.677 --> 00:42:59.800
Правило прямоугольника: новый элемент
равен старый элемент минус

00:43:00.921 --> 00:43:05.443
A умножить на B — элементы старой
симплексной таблицы, разрешающий

00:43:05.483 --> 00:43:09.405
прямоугольник с элементами старого
элемента и нового-и

00:43:10.175 --> 00:43:14.855
...и разрешающего элемента и разделить на
разрешающий элемент.

00:43:15.215 --> 00:43:19.494
Равносильная, но не поэлементная, а
построчная запись того же самого правила

00:43:19.654 --> 00:43:21.294
имеет следующий вид.

00:43:22.134 --> 00:43:27.054
Новая строка равна старая строка минус
коэффициент разрешающего столбца.

00:43:27.680 --> 00:43:31.040
К старой строке минус новая разрешающая
строка.

00:43:32.400 --> 00:43:35.560
Затем необходимо перейти к пункту 2
алгоритма.

00:43:36.160 --> 00:43:42.479
Замечание. Если разрешающая задача
минимизации целевой функции, то признаком

00:43:42.679 --> 00:43:46.479
оптимального плана является не
положительность значений всех элементов

00:43:46.719 --> 00:43:47.479
Зет-строки.

00:43:48.763 --> 00:43:50.042
Следующее замечание.

00:43:50.322 --> 00:43:54.159
Если на некотором шаге алгоритма
оказалось, что в ведущем столбце все

00:43:54.359 --> 00:43:58.556
элементы не положительны, то целевая
функция не ограничена на множестве

00:43:58.716 --> 00:44:01.913
допустимых планов и задача не имеет
решения.

00:44:02.353 --> 00:44:05.710
Рассмотрим примеры решения задач простым
симплекс-методом.

00:44:07.337 --> 00:44:11.059
Итак, пример. Рассмотрим следующую задачу
линейного программирования.

00:44:11.339 --> 00:44:17.864
Требуется максимизировать функцию F от X,
равную X1 + 2 X2 + 2 X 3 при

00:44:18.024 --> 00:44:20.185
следующих ограничениях.

00:44:23.467 --> 00:44:28.711
Итак, дана система ограничений: X1 + 2 X2
+ 2x3 меньше либо равно восьми.

00:44:29.040 --> 00:44:35.762
2x1 + 4x2 + X 3 меньше либо равно десяти;
и обязательное условие:

00:44:35.802 --> 00:44:38.803
X1x2—X3 больше либо равны нулю.

00:44:39.683 --> 00:44:45.765
Перейдём к ограничениям равенства, введя
дополнительные переменные S1 и S2.

00:44:47.617 --> 00:44:51.939
И запишем данные в исходную таблицу 1,3.

00:44:58.743 --> 00:45:00.784
Прошу перечертить данную таблицу.

00:48:54.003 --> 00:49:00.005
И как в предыдущем примере, выберем
разрешающий элемент из таблицы 1.3.

00:49:01.246 --> 00:49:06.208
В данном случае он выделен, сделаем
очередной шаг преобразования жардана

00:49:06.368 --> 00:49:10.450
гауса. В данном случае в строке у нас
отрицательные элементы.

00:49:10.746 --> 00:49:13.145
Наибольший по модулю — это минус два.

00:49:13.505 --> 00:49:18.423
Либо этот у нас могли работать либо с этим
разрешающим столбцом, либо в данном случае

00:49:18.743 --> 00:49:24.100
с этим. Но значение базисных переменных
наименьшее — это у нас восемь,

00:49:24.180 --> 00:49:26.779
следовательно, S1 — разрешающая строка.

00:49:27.158 --> 00:49:33.592
И разрешающий элемент у нас два в столбике
X2.

00:49:33.792 --> 00:49:35.990
Получаем таблицу 1.4.

00:49:37.948 --> 00:49:41.225
Таблица 1.4 удовлетворяет условию
оптимальности.

00:49:41.305 --> 00:49:44.183
Обратите в Z в строке у нас все элементы
положительные.

00:49:44.640 --> 00:49:49.084
Таким образом, получаем оптимальное
решение.

00:49:52.086 --> 00:49:55.809
Если приравниваем X1 X2 к нулю, X1.2.

00:49:55.889 --> 00:50:02.053
X3 приравниваем X1 X2 к нулю, X3 у нас
будет равно 4.

00:50:02.724 --> 00:50:06.641
И значение целевой функции у нас в данном
случае равно восьми.

00:50:10.638 --> 00:50:14.514
Опять же, прошу записать данную таблицу
для того, чтобы в дальнейшем вы могли

00:50:15.713 --> 00:50:18.551
повторить ход решения задачи.

00:50:18.890 --> 00:50:19.604
Один. Один.

00:54:59.697 --> 00:55:02.459
Перейдём к примеру 1.2.

00:55:04.821 --> 00:55:10.585
Найти максимум целевой функции F2X1+ 3X
при следующих ограничениях.

00:55:12.745 --> 00:55:19.711
X1 + 2 X2 меньше либо равно шести; 2 X1 +
X2 меньше либо равно восьми;

00:55:19.831 --> 00:55:22.954
X2 - X1 меньше либо равно единице.

00:55:23.194 --> 00:55:28.078
X2 меньше либо равно двум; X1 X2 больше
либо равно нулю.

00:55:29.359 --> 00:55:31.882
Опять же предлагаю рассмотреть решение.

00:55:33.744 --> 00:55:38.858
В данном случае целевая функция
приравнивается к нулю, переносится всё за

00:55:38.977 --> 00:55:45.809
знак равенства из данной задачи и

00:55:46.568 --> 00:55:49.124
данные системы ограничений

00:55:50.136 --> 00:55:56.652
При введении новых переменных путь X3 X4
X5.6 вводится в таблицу

00:55:56.772 --> 00:55:59.490
1.5. Simplix-таблица.

00:56:02.329 --> 00:56:04.248
Опять же смотрим на Z-строку.

00:56:04.288 --> 00:56:08.285
В Z-строке отрицательные элементы, значит,
это решение не оптимально.

00:56:08.665 --> 00:56:14.707
Выбираем наиболее, эм-м-м, наибольший по
модулю элемент, который определит

00:56:14.907 --> 00:56:17.628
разрешающую строку — это -3.

00:56:17.868 --> 00:56:24.390
И минимальное значение базисных переменных
— единица среди 6812.

00:56:25.607 --> 00:56:31.453
Следовательно, разрешающей строчкой будет
строка X5, а сам разрешающий элемент —

00:56:31.613 --> 00:56:37.739
единица. В результате перерасчёта получаем
по методу Жардана Гауса таблицу

00:56:37.899 --> 00:56:42.784
1.6. Предлагаю данную задачу решить
самостоятельно.

00:56:44.680 --> 00:56:45.920
В таблице 1.6.

00:56:45.960 --> 00:56:49.919
Обратите внимание, опять же есть
отрицательный элемент, значит, значение

00:56:50.119 --> 00:56:53.519
целевой функции 3 в данном случае не
оптимально.

00:56:53.999 --> 00:57:00.758
Разрешающая строка будет соотбец будет
соответствовать разрешающему числу,

00:57:00.838 --> 00:57:02.477
отрицательному числу минус пять.

00:57:03.407 --> 00:57:07.406
Среди значений базисных переменных 4,71.

00:57:09.325 --> 00:57:13.203
Выбираем разрешающий элемент единицу.

00:57:13.283 --> 00:57:15.842
Отрицательное значение выбирать мы не
можем.

00:57:16.402 --> 00:57:21.320
И в результате пересчёта по методу
Джордана Гауса у нас получится значение

00:57:21.520 --> 00:57:22.919
таблицы 1,7.

00:57:27.500 --> 00:57:32.739
Далее опять же пересчёт идёт таблицы 1.8,
так как в этой строке опять же появился

00:57:32.979 --> 00:57:39.417
отрицательный элемент -2, разрешающий
столбец X5 и

00:57:39.577 --> 00:57:43.456
разрешающей строчкой будет являться строка
X3.

00:57:44.363 --> 00:57:45.763
По минимальному значению.

00:57:45.843 --> 00:57:48.724
Отрицательное число мы не можем брать.

00:57:49.444 --> 00:57:56.285
И в таблице 1,8 при пересчёте таблицы 1,7
получается, что

00:57:56.445 --> 00:57:59.766
в Z-строке определилось отрицательное
число.

00:57:59.926 --> 00:58:04.087
То есть мы ведём пересчёт до тех пор, пока
в Z-строке все элементы не будут

00:58:04.127 --> 00:58:04.847
положительными.

00:58:07.762 --> 00:58:13.761
И вот в результате данных преобразований
таблицы 1.8 в строке получились все

00:58:13.921 --> 00:58:19.120
элементы положительными, при этом значение
целевой функции будет 32 трети.

00:58:21.160 --> 00:58:23.720
X1, X2 будет равно нулю.

00:58:25.774 --> 00:58:31.172
В данном случае обратим внимание.

00:58:31.292 --> 00:58:36.650
Нет, нет, нет, извините, X1 будет 10
третьих, X2 — 4 третьих.

00:58:37.809 --> 00:58:43.167
Значение целевой функции, как я сказала
ранее, 32 третьих.

00:58:43.287 --> 00:58:44.487
Тут, видимо, опечатка.

00:58:48.853 --> 00:58:51.650
Переходим к следующему пункту —
двойственность в линейном

00:58:51.809 --> 00:58:55.965
программировании. Двойственные задачи
линейного программирования.

00:58:56.244 --> 00:59:00.319
Определение. Задача линейного
программирования называется задачей в

00:59:00.399 --> 00:59:04.315
стандартной форме или стандартной задачей
линейного программирования.

00:59:04.778 --> 00:59:08.739
Если все ограничения имеют вид
неравенства, а все переменные ограничены

00:59:08.859 --> 00:59:12.980
по знаку. Задача линейного
программирования называется задачей в

00:59:13.020 --> 00:59:18.340
канонической форме все её ограничения
имеют вид равенства, а все её переменные

00:59:18.460 --> 00:59:19.620
ограничены по знаку.

00:59:20.540 --> 00:59:26.533
Замечание. В линейном программировании
любые записи неравенств для векторов

00:59:27.252 --> 00:59:31.208
понимаются по компонентно.

00:59:31.288 --> 00:59:36.163
Например, запись X больше нуля означает,
что все компоненты вектора X

00:59:36.442 --> 00:59:37.042
положительные.

00:59:37.577 --> 00:59:41.535
Рассмотрим стандартную задачу линейного
программирования.

00:59:41.895 --> 00:59:46.172
Программирование. Целевая функция у нас
либо стремится к максимуму, либо к

00:59:46.252 --> 00:59:51.530
минимуму. Дана система ограничений, при
этом иксы изжитые больше либо равны нулю.

00:59:52.169 --> 00:59:53.449
Где дана матрица?

00:59:54.975 --> 00:59:58.810
D — это вектор строка ограничения, X —
вектор строка переменных.

00:59:59.010 --> 01:00:05.282
C в данном случае матрица-столбец
Матричная запись X

01:00:05.921 --> 01:00:10.555
умножить на A меньше либо равно D в
координатной форме выглядит следующим.

01:00:11.087 --> 01:00:16.204
образом в виде системы ограничений.

01:00:16.804 --> 01:00:21.682
Следующие задачи в стандартной форме
называется двойственные задачи 1—2.

01:00:22.042 --> 01:00:25.320
То есть у нас было до этого
максимум-минимум, теперь у нас будет

01:00:25.520 --> 01:00:26.800
минимум-максимум.

01:00:27.624 --> 01:00:33.662
Опять же, ограничение A- больше либо
меньше либо равно Ц, игрек и Жены либо

01:00:33.702 --> 01:00:38.821
равны нулю. Соответственно, задачу 1—2
будем называть прямой.

01:00:39.141 --> 01:00:42.460
Рассмотрим каноническую задачу линейного
программирования.

01:00:43.220 --> 01:00:45.379
Система ограничений 1—4.

01:00:47.923 --> 01:00:50.201
Двойственной к ней задачей является задача

01:00:50.481 --> 01:00:57.236
1—5о же общее правило построения
двойственной

01:00:57.276 --> 01:00:59.874
задачи линейного программирования?

01:01:02.272 --> 01:01:05.389
В общем случае двойственная задача
линейного программирования

01:01:06.019 --> 01:01:07.577
Формулируется следующим образом.

01:01:07.697 --> 01:01:11.094
Пусть A — прямая задача, построим
двойственную задачу Б.

01:01:11.493 --> 01:01:15.769
Каждому ограничению неравенства прямой
задачи соответствует ограничение по знаку

01:01:15.968 --> 01:01:17.807
переменная двойственной задачи.

01:01:18.166 --> 01:01:22.601
Каждому ограничению неравенства прямой
задачи соответствует неограниченная по

01:01:22.681 --> 01:01:24.799
знаку переменная двойственной задачи.

01:01:25.864 --> 01:01:30.104
Каждой ограниченной по знаку переменной
прямой задаче соответствует ограничению

01:01:31.064 --> 01:01:33.144
неравенством двойственной задачи.

01:01:33.464 --> 01:01:37.385
И каждая неограниченная по знаку
переменной прямой задачи соответствует

01:01:37.505 --> 01:01:40.105
ограничение равенством двойственной
задаче.

01:01:42.058 --> 01:01:46.977
Столбец первых частей ограничений прямой
задачи совпадает со строкой коэффициентов

01:01:47.097 --> 01:01:49.096
целевой функции двойственной задачи.

01:01:49.616 --> 01:01:53.895
Строка коэффициентов целевой функции
прямой задачи совпадает со столбцом при

01:01:54.575 --> 01:01:57.334
правых частей ограничений двойственной
задачи.

01:01:58.281 --> 01:02:02.923
Если прямая задача была на максимум, то
двойственная задачи должна быть на минимум

01:02:03.043 --> 01:02:09.325
и наоборот. Матрица коэффициентов левых
частей ограничений прямой задачи совпадает

01:02:09.405 --> 01:02:15.927
с транспортной матрицей коэффициентов
левой задачи ограничений двойственной

01:02:16.047 --> 01:02:16.487
задачи.

01:02:17.046 --> 01:02:20.682
При этом предполагается, что в задаче на
максимум используется ограничение

01:02:20.842 --> 01:02:25.357
неравенства в виде меньше либо равно, то
есть ограничения неравенства преобразовано

01:02:25.477 --> 01:02:30.512
к ограничениям вида меньше либо равно, а
также на минимум ограничение неравенства

01:02:30.712 --> 01:02:33.549
больше либо равно. Ясно, что задача

01:02:35.052 --> 01:02:38.929
Двойственная к двойственной совпадает с
прямой задачей.

01:02:39.489 --> 01:02:44.885
Замечание. Из общего правила построения
двойственных задач следует, что задачи 12

01:02:45.125 --> 01:02:49.122
и 13 являются двойственными друг другу.

01:02:51.600 --> 01:02:52.600
Перейдём к примеру.

01:02:55.150 --> 01:03:01.305
Рассмотрим прямую задачу: максимизировать
линейную функцию.

01:03:01.465 --> 01:03:07.780
Функция X1 - X2 + 2 X 3 + 3 X 4 при
следующих

01:03:07.900 --> 01:03:13.575
ограничениях запишем систему ограничений.

01:03:14.286 --> 01:03:19.643
При этом обратите внимание, что X1—X4
больше либо равна нулю, а X 2.3 не

01:03:19.803 --> 01:03:21.283
ограничены по знаку.

01:03:21.722 --> 01:03:23.881
И запишем двойственную к ней.

01:03:24.841 --> 01:03:29.798
Ещё раз прошу переписать целевую функцию и
систему.

01:06:32.223 --> 01:06:38.859
Итак, решение. Задача Б, двойственная к A,
сводится к минимизации линейной функции: 4

01:06:42.497 --> 01:06:45.375
+ 3 игрек два плюс 5 игрек три

01:06:52.091 --> 01:06:53.490
следующих ограничениях.

01:06:53.880 --> 01:06:55.922
Знак меньше меняется на большей.

01:06:56.082 --> 01:07:00.847
Знак равенства сохраняется, при этом у нас
условие егрек 1 игрек 2 больше либо равны

01:07:00.927 --> 01:07:03.649
нулю, игрек 3 не ограничен по знаку.

01:07:03.890 --> 01:07:07.053
Ясно, что двойственное Б будет снова
задача A.

01:07:08.894 --> 01:07:09.815
Пусть вектор X

01:07:10.447 --> 01:07:13.369
Допустимое решение задачи 1.2, а вектор X.

01:07:13.449 --> 01:07:15.290
Допустимое решение задачи 1.3.

01:07:15.370 --> 01:07:18.012
Тогда выполняется следующее условие.

01:07:19.733 --> 01:07:24.977
Доказательство. Так как X — допустимое
решение задачи 1.2, то X умножить на A

01:07:25.177 --> 01:07:28.979
меньше либо равно T. Все компоненты
которого X неотрицательные, и

01:07:29.059 --> 01:07:29.420
следовательно

01:07:30.246 --> 01:07:37.007
Из того, что икс умножить на A меньше либо
равно D, следует, что X Age меньше

01:07:37.087 --> 01:07:43.329
либо равно D Y. Допустимо решение задачи
1.3, что A-грек больше либо равно Ц, все

01:07:43.489 --> 01:07:45.809
компоненты вектора X неотрицательные.

01:07:46.480 --> 01:07:50.995
И тогда из того, что Agex больше либо
равно Ц, следует, что X A игрек больше

01:07:51.274 --> 01:07:52.753
либо равно Ц.

01:07:53.272 --> 01:08:00.265
Таким образом, имеем ограничение, что Ax A
geк меньше либо равно Dрек,

01:08:00.664 --> 01:08:03.022
X A игрек больше либо равно Цекс.

01:08:03.557 --> 01:08:05.156
Что и требовалось доказать.

01:08:05.835 --> 01:08:11.831
Лемма. Пусть вектор «кс — допустимое
решение задачи 1.4», а вектор Y —

01:08:11.871 --> 01:08:13.989
допустимое решение задачи 1.5.

01:08:14.189 --> 01:08:18.146
Тогда C X меньше либо равно X, а егрек
равно D Y.

01:08:18.905 --> 01:08:20.464
Предлагаю доказательства.

01:08:21.417 --> 01:08:28.409
рассмотреть самостоятельно и перейдём к

01:08:28.529 --> 01:08:30.726
общему случаю данного утверждения.

01:08:31.086 --> 01:08:35.920
Пусть икс — любое допустимое решение
прямой задачи линейного программирования

01:08:36.120 --> 01:08:36.839
на максимум.

01:08:37.676 --> 01:08:42.719
Любое допустимое решение двойственной
задачи линейного программирования на

01:08:42.800 --> 01:08:49.604
минимум. Тогда C меньше либо равно D Yeme
X — допустимое

01:08:49.685 --> 01:08:53.447
решение задачи линейного программирования;
yk — допустимое решение задачи

01:08:53.567 --> 01:08:54.248
двойственной.

01:08:54.914 --> 01:09:01.201
Если X игрек удовлетворяют условию C равно
D игрек, то X игрек — оптимальное решение

01:09:01.481 --> 01:09:03.082
соответствующих задач.

01:09:06.005 --> 01:09:10.330
Итак, доказательства, пусть икс — любое
допустимое решение прямой задачи.

01:09:10.798 --> 01:09:15.994
Тогда согласно лейме 12 и 13 Ce либо равно
Dрек равно Ц.

01:09:16.194 --> 01:09:18.792
Икс — оптимальное решение прямой задачи.

01:09:19.672 --> 01:09:24.028
Пусть грек — любое допустимое решение
двойственной задачи, тогда согласно леме

01:09:24.188 --> 01:09:25.627
12 и 1.3 D-X

01:09:26.403 --> 01:09:29.166
Больше либо равно C равно D grek.

01:09:29.246 --> 01:09:33.450
То есть Y — оптимальное решение
двойственной задачи, что и требовалось

01:09:33.650 --> 01:09:38.975
доказать. Следующая теорема Фаркоша,
которую иногда также называют теолемой

01:09:39.055 --> 01:09:43.179
Фаркаша, является краеугольным камнем всей
теории двойственности.

01:09:43.259 --> 01:09:43.299
Мы

01:09:44.031 --> 01:09:46.711
Проводим её здесь для полноты изложения.

01:09:47.832 --> 01:09:49.432
Итак, теорема 1.7.

01:09:49.512 --> 01:09:54.473
Система линейных неравенств влечёт
линейное неравенство Ax больше либо равно

01:09:54.553 --> 01:09:56.513
нулю тогда и только тогда, когда A

01:09:57.879 --> 01:10:03.764
Механическая комбинация вектора C1, C2 Ц3
и так далее ЦМ, то есть A равно сумме и

01:10:04.084 --> 01:10:08.047
Цжитое, где лямбда и больше либо равно
нулю.

01:10:09.488 --> 01:10:11.329
Основная теорема двойственности.

01:10:11.490 --> 01:10:15.573
Если прямая и двойственная задача имеет
допустимое решение, то обе они имеют

01:10:16.043 --> 01:10:18.123
Оптимальное решение — X & Y.

01:10:18.242 --> 01:10:20.602
Причём Cs равно D Y.

01:10:22.322 --> 01:10:23.922
Теорема Равновесия.

01:10:28.575 --> 01:10:33.055
Для того чтобы допустимые решения X gek
прямой двойственной задач в стандартной

01:10:33.135 --> 01:10:37.976
форме были оптимальными решениями этих
задач, необходимо и достаточное выполнение

01:10:38.136 --> 01:10:43.456
следующих соотношений: игрек-житое равно
нулю, если сумма X itie житое меньше либо

01:10:44.136 --> 01:10:50.537
меньше Джитого; X iтое равно нулю, если
сумма X iто Iтое кигрек-житое больше

01:10:50.777 --> 01:10:51.417
Цжитого.

01:10:52.999 --> 01:10:55.121
Соотношение 16 и 17.

01:10:55.561 --> 01:10:59.925
Если прямая задача задана в канонической
форме, то для того чтобы допустимые

01:11:00.005 --> 01:11:05.089
решения X Y были оптимальными решениями
соответствующих задач необходимо и

01:11:05.209 --> 01:11:07.531
достаточное выполнение условий 1.7.

01:11:07.891 --> 01:11:11.013
Ограничение 16,17 называется условиями.

01:11:11.823 --> 01:11:18.217
Дополняющей нежёсткости или условию
дополнительной нежёсткости и представляет

01:11:18.337 --> 01:11:24.852
собой частный случай условие куната
Приведены доказательство

01:11:25.651 --> 01:11:26.770
данной теоремы.

01:11:39.095 --> 01:11:41.698
Предлагаю вам просмотреть это
доказательство.

01:11:46.301 --> 01:11:51.906
Достаточность. Пусть X равно X1x2.M
допустимо решение задачи 1.4.

01:11:51.946 --> 01:11:55.829
Тогда сумма X Iто A жито равна D житому.

01:11:57.894 --> 01:12:00.738
Умножим каждое из неравенств на игрек жит.

01:12:01.138 --> 01:12:07.106
Сложим полученные неравенства, получим э-э
равенство 11.

01:12:07.987 --> 01:12:12.833
Тогда пусть игрек допустимое решение
двойственной задачи 1,5.

01:12:15.164 --> 01:12:22.046
Где сумма Aкрек-житое больше либо равна
Цитому, умножим неравенство X ite в силу

01:12:22.126 --> 01:12:24.407
условия X-житое больше либо равно нулю.

01:12:24.567 --> 01:12:30.650
Получим: икс-житое равно сумме Айжитому
игрек-итое Ц итое

01:12:30.810 --> 01:12:31.570
икс-итое.

01:12:32.106 --> 01:12:35.668
Сложим найденные неравенства и получим
равенство 112.

01:12:36.109 --> 01:12:41.152
Сравнивая формулы 11 и 112, получаем Cs
равно D R.

01:12:41.272 --> 01:12:46.075
В силу теоремы 16 X игрек — оптимальное
решение соответствующих задач.

01:12:46.956 --> 01:12:51.679
Необходимость, пусть X и X оптимальное
решение задач 141.5.

01:12:51.957 --> 01:12:57.000
Тогда по теореме 18 справедливо равенство
113.

01:12:57.120 --> 01:12:58.881
Посмотрите на него.

01:12:58.961 --> 01:13:05.844
Перепишем левое равенство в формуле 110
следующим образом: сумма икс

01:13:06.004 --> 01:13:12.567
и умножить на разность Ц итое минус сумма
произведений ag-житое равно

01:13:12.647 --> 01:13:13.127
нулю.

01:13:13.372 --> 01:13:18.689
Отсюда следует выполнение условий 1.7, что
и требовалось доказать.

01:13:22.248 --> 01:13:26.486
Перейдём к экономической интерпретации
двойственных перемен.

01:13:31.804 --> 01:13:34.643
Рассмотрим задачу составления оптимального
плана.

01:13:35.341 --> 01:13:39.741
Для максимизирующего прибыль системы в
линейной модели пространства требуется

01:13:39.901 --> 01:13:45.542
найти эммерный вектор интенсивности
производства X, максимизирующий функцию

01:13:46.222 --> 01:13:51.302
сумма Ц и Ж равна максимуму, стремится к
максимуму 14.

01:13:51.342 --> 01:13:55.422
При ограничениях XA меньше либо равно D's
больше либо равно нулю.

01:13:56.025 --> 01:14:02.111
или в координатной форме в виде системы
ограничений

01:14:04.874 --> 01:14:09.679
прибыль, которую получает система от
работы и объекта с единичной

01:14:10.199 --> 01:14:11.200
интенсивностью.

01:14:11.635 --> 01:14:16.560
Элементы A и сжитая матрицы равны по
модулю количеству сжитого продукта,

01:14:16.720 --> 01:14:21.966
производимого или потребляемого итым
объектом при работе объекта с единичной

01:14:22.046 --> 01:14:25.210
интенсивностью. Причём A сжитая больше
нуля.

01:14:25.330 --> 01:14:28.613
Если итый объект потребляет сжитый продукт

01:14:30.197 --> 01:14:34.997
И AI житое меньше нуля, если этот объект
производит житый продукт.

01:14:35.157 --> 01:14:39.958
Соответственно, компоненты жито вектора D
отрицательны, если это плановое задание на

01:14:40.038 --> 01:14:43.958
производство жидкого продукта и
положительно, если это ограничение на

01:14:44.038 --> 01:14:45.518
потребление продукта извне.

01:14:46.526 --> 01:14:50.767
Двойственной к задаче 114 будет задача
1:15.

01:14:51.767 --> 01:14:57.169
Предположим, что вектор D может менять
тогда каждому его значению соответствующее

01:14:57.249 --> 01:14:59.489
решение задачи 14.

01:14:59.769 --> 01:15:05.531
Обозначим значение целевой функции для
этого решения LD по основной теореме

01:15:05.571 --> 01:15:06.291
двойственности.

01:15:06.799 --> 01:15:13.192
Л от равно Cs равно D Y — решение прямой
задачи; Yк решение двойственной задачи Y

01:15:13.472 --> 01:15:16.508
равно игрек один и так далее Y.

01:15:16.668 --> 01:15:21.702
Придадим вектору D приращение Дельта D и
получим новое решение.

01:15:25.102 --> 01:15:28.744
При достаточно малом изменении
коэффициента целевой функции решение не

01:15:28.864 --> 01:15:32.105
меняется, поэтому можно считать, что
дельта-Игрек равно нулю.

01:15:32.345 --> 01:15:38.668
Пусть все компоненты вектора Дельта-Д, за
исключением жита-компоненты, равны нулю, а

01:15:38.748 --> 01:15:41.549
Jita равна дельта Д житому.

01:15:43.536 --> 01:15:45.575
Тогда справедливы следующие равенства.

01:15:45.855 --> 01:15:51.132
Таким образом, игрек-житое — это
приращение целевой функции, делённое на

01:15:51.252 --> 01:15:56.808
приращение житого ресурса, которое это
приращение целевой функции вызвало.

01:15:57.128 --> 01:16:00.846
Переходя к пределу, получаем, что
игрек-житое равно

01:16:01.795 --> 01:16:06.676
Дельта L разделить на D-житое, то есть
значение двойственной переменной равно

01:16:06.876 --> 01:16:11.477
частной производной от оптимального
значения целевой функции по правой части

01:16:11.677 --> 01:16:14.878
ограничения, соответствующей данной
двойственной переменной.

01:16:15.238 --> 01:16:19.719
Другими словами, грекжито — не что иное,
как предельная эффективность житого

01:16:19.839 --> 01:16:21.199
продукта или ресурса.

01:16:22.117 --> 01:16:29.004
...и размерность этой величины равнадцатые
компоненты решения

01:16:29.164 --> 01:16:33.729
двойственной задачи имеют размерность цены
сжитого продукта или ресурса.

01:16:34.369 --> 01:16:38.573
Данная компонента решения двойственной
задачи показывает, насколько возрастает

01:16:38.694 --> 01:16:40.375
целевая функция, если изменить...

01:16:41.198 --> 01:16:47.842
На одну единицу ограничение ограничение на
житый

01:16:47.923 --> 01:16:48.363
ресурс

01:16:55.968 --> 01:17:00.531
в литературе советского периода компоненты
решения двойственной задачи называли

01:17:00.691 --> 01:17:02.813
объективно обусловленными оценками.

01:17:03.142 --> 01:17:07.422
Обычно их называют теневыми ценами,
поэтому эта рыночная цена может оказаться

01:17:07.622 --> 01:17:12.062
неправильной. А теневые цены показывают
истинное значение предельной эффективности

01:17:12.222 --> 01:17:16.862
данного продукта. Значение теневых цен
позволяет определять приращение целевой

01:17:16.942 --> 01:17:18.462
функции при малых изменениях.

01:17:19.099 --> 01:17:22.943
правых частей ограничений не решать задачу
заново.

01:17:24.064 --> 01:17:30.149
То есть дельта L равна сумме igreк-житое с
дельта-жито, где Ye — компонент решения

01:17:30.309 --> 01:17:31.110
двойственной задачи

01:17:37.402 --> 01:17:41.760
Предельные значения нижней верхняя границы
изменения каждого из ресурсов, для которых

01:17:41.920 --> 01:17:47.198
двойственные оценки остаются неизменными,
определяется нетрудно понять следующим

01:17:47.278 --> 01:17:50.757
образом, представленным в виде ограничений
равенств.

01:17:51.196 --> 01:17:56.474
Дельта B It — предельно допустимое
уменьшение итого ресурса, X.

01:17:58.289 --> 01:18:03.931
В данном случае компоненты оптимального
плана прямой задачи: Дельта-Б, итая

01:18:05.291 --> 01:18:11.493
величины изменения этого ресурса, дельта
итая с плюсом Дельта Б-итая — предельно

01:18:11.533 --> 01:18:13.333
допустимые решение этого ресурса.

01:18:14.236 --> 01:18:18.596
D и ЖТ коэффициенты столбца дополнительные
переменной

01:18:21.236 --> 01:18:26.396
в заключительной системе синплекс таблицы
оптимального плана прямой задачи.

01:18:26.716 --> 01:18:30.795
Замечание. Соотношение 1,7

01:18:31.280 --> 01:18:38.039
Один. Семь устанавливает тот факт, что все
объекты, которые убыточны при ценах YekG,

01:18:38.119 --> 01:18:40.199
в оптимальном плане не участвуют.

01:18:40.319 --> 01:18:44.999
Поэтому, если цены на продукты
установленные равными соответствующими

01:18:45.119 --> 01:18:46.358
компонентом вектора Y

01:18:47.108 --> 01:18:51.384
То убыточные объекты можно сразу исключить
из рассмотрения.

01:18:53.462 --> 01:18:55.261
Замечание 1.7.

01:18:55.540 --> 01:19:00.816
Соотношение 1,6 утверждает, что если
какой-либо ресурс используется в

01:19:00.895 --> 01:19:02.774
оптимальном плане неполностью

01:19:03.349 --> 01:19:06.670
То цена такого ресурса должна быть равна
нулю.

01:19:06.910 --> 01:19:10.833
Если какой-либо продукт производится
системой в количестве большим, чем

01:19:10.993 --> 01:19:15.995
потребность в нём, то цена такого продукта
также должна быть равна нулю.

01:19:17.996 --> 01:19:20.878
Итак, наша первая лекция подошла к концу.

01:19:21.747 --> 01:19:26.464
Вторую лекцию мы с вами продолжим при
изучении алгоритма двойственного

01:19:26.544 --> 01:19:27.623
симфлекс-метода.

01:19:30.735 --> 01:19:36.896
План лекции был, э-э, план лекционных
занятий был предоставлен вам, э-э, в

01:19:37.016 --> 01:19:38.416
начале первой лекции.

01:19:38.696 --> 01:19:40.537
Прошу ещё раз его просмотреть.

01:19:40.737 --> 01:19:46.898
При этом, э, предлагаю рассмотреть решение
задач, самостоятельно данные задачи

01:19:47.418 --> 01:19:52.219
прорешать, чтобы в дальнейшем при
выполнении самостоятельной, либо

01:19:52.419 --> 01:19:56.860
контрольной работы, либо при написании
реферата вы могли

01:19:58.969 --> 01:20:05.730
выполнить данное задание для получения
зачёта либо экзамена Спасибо за внимание

01:20:05.930 --> 01:20:08.571
с вами была Романова Татьяна Николаевна